欧拉公式：证明两角正余弦的和差角公式！

\color {blue}{ \巨大 \ e^{\ ix}=\cos x+\ i\sin x}

由这样一个公式，我们可以推导出和角公式、差角公式、三角公式等的存在性，并且推导过程非常简单。 例如，证明两个角度的正弦和余弦的和差公式，用欧拉公式证明如下：

\ e^{ \ i(x+y)}= \ e^{\ ix} \ e^{\ iy}

=(\cos x+\ i\sin x)(\cos y+\ i\sin y)

=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+\ i(\sin x\cos y+\sin y\cos x)

另一方面，

\ e^{\ i(x+y)}=\cos (x+y)+\ i\sin (x+y)

将两者结合起来（两个复数相等的充要条件是实部和虚部都相等），我们得到，

\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y

\sin (x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x

另外，我觉得这个结论在大学或者比赛中应该有更多的应用……我就不在这里出丑了。

那么现在我就介绍一个我认为比较完美的公式（不能说是公式，只是一个方程，因为这里没有变量）：所有正整数的平方的倒数之和相等到 π²/6，即

\color{} { \LARGE \sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^{2}}}=\frac{\pi^{2}}{6}}

因为直觉上，左边有一个与π无关的数字，而π²/6居然出现在右边……自然界的这种内在联系实在是太神奇了。

对于这个不可思议的事情，以高中知识为例：

道尔顿板实验

最后，球的数量满足关于数量的正态分布（表达式不严谨）：

\color{green} {\巨大\{\mu,\sigma} (x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma} \ e^{-\frac{(x-\mu)^{ 2}}{2\sigma^{2}}}}

你会立刻问：丢球其实和e和π有关吗？ ！

对，就是那样。

我们再摘录一下@朱八八的文章

两位以前的同学开始介绍各自的工作。 一个是研究人口趋势的统计学家。 他给朋友看了一篇最近的文章，这篇文章是从高斯分布开始的。 朋友很疑惑，指着高斯分布中的π问道：

“这是什么？”

“它是圆的周长与其直径的比值。”

“你太会开玩笑了，人口和圆的周长怎么有关系？”

“……”

事实上，这样的存在还有很多。 这是另一个例子：

\color{red}{ \lim_{x \ \infty}{(1+\frac{1}{x})^{x}}= \LARGE \sum_{i=0}^{\infty}{\frac {1}{我！}}}

数学的自洽性确实令人惊奇。

感谢评论区@ICI纠正了答案中“i”斜体的不当使用~

请参阅 2.4 正态分布第 80 页。 我读书不多，欧拉大师倍角公式，别骗我！ 所有自然数的和是多少？