（每日一题）自变量取值范围的确定方法

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知识点总结

基本功能知识点

变量和常量

在变化过程中，价值发生变化的量称为变量，价值保持不变的量称为常数。

功能

一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定值，y都有一个唯一的对应值，那么我们说x是自变量，y是x的函数。 如果当x=a时y=b，则b称为当自变量值为a时函数的值。

如何确定自变量的取值范围

1、自变量的取值范围必须使解析表达式有意义。

当解析表达式为整数时，自变量的取值范围均为实数； 当解析表达式为分数形式时，自变量的取值范围均为分母不为0的实数； 当解析式含有二次根式时，自变量的取值范围为被数大于等于0的所有实数。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

函数图像

一般来说，对于一个函数，如果用自变量和函数的每一对对应值作为该点的横坐标和纵坐标，那么这些点在坐标平面上组成的图形就是图像的函数。

使用点追踪法绘制函数图的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：画点（在直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，画出表中数值对应的点）；

第三步：连接直线（将画出的点按照横坐标从小到大的顺序用平滑的曲线连接起来）。

函数的表示方法

列表法：一目了然，易于使用，但列出的对应值有限，不易看出自变量与函数之间的对应规则。

解析表达法：简单明了，能够准确反映整个变化过程中自变量与函数之间的依赖关系。 然而，一些实际问题中的函数关系无法用解析表达式来表达。

图像法：图像直观，但只能近似表达两个变量之间的函数关系。

比例函数

通常，y=kx（k为常数，k≠0）形式的函数称为比例函数，其中k称为比例系数。

比例函数的图形和性质

一般来说，比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图形是一条经过原点和(1,k)的直线。 我们称其为直线y=kx。 当k>0时，直线y=kx经过第三象限和第一象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大； 当 k

(1)解析式：y=kx（k为常数，k≠0）

(2) 必过点：(0, 0), (1, k)

(3)方向：当k>0时，图像经过第一、第三象限； k

(4)增减：k>0​​，y随着x的增加而增加； k

(5) 倾斜度：|k| 较大者即，越靠近y轴； |k| 越小即，离x轴越近

比例函数解析式的确定——待定系数法

1、建立含有待定系数的函数y=kx(k≠0)的解析公式

2、将已知条件（一点的坐标）代入解析式，得到一个变量关于k的线性方程

3.解方程并求出系数k

4. 将k的值代回解析表达式

线性函数

通常，y=kx+b（k和b是常数，k≠0）形式的函数称为线性函数。 当b=0时，y=kx+b，即y=kx，因此比例函数是特殊的a线性函数。

线性函数的图形和性质

线性函数y=kx+b的图像是经过两点(0,b)和(-b/k,0)的直线。 我们称其为直线 y=kx+b。 可以看作直线 y =kx 平移 |b| 长度单位。 （当b>0时，向上平移；当b

(1)解析式：y=kx+b（k和b为常数，k≠0）

(2) 必须通过点：(0,b)和(-b/k,0)

(3)方向：k>0，图像从左到右斜向上；

k、图像从左到右斜向下；

b>0，穿过y轴的正半轴；

b=0，交点原点；

b、穿过y轴的负半轴；

k>0，b>0； 直线经过第一、二、三象限

k>0，直线b经过第一、第三、第四象限

K，b>0； 直线经过第一、二、四象限

K、b直线经过第二、三、四象限

(4)增减：k>0​​，y随着x的增加而增加； k

(5) 倾斜度：|k| 较大者即，图像距离y轴越近； |k| 越小也就是说，图像离 x 轴越近。

(6)图像平移：当b>0时，将直线y=kx图像向上平移b个单位；

当b

直线 y=k1x+b1 和 y=k2x+b2 之间的位置关系

(1) 两条直线平行：k1=k2 且 b1≠b2

(2) 两条直线相交：k1≠k2

(3) 两条直线重合：k1=k2 且 b1=b2

如何确定线性函数的解析表达式

(1) 根据已知条件，写出含有待定系数的函数的解析表达式；

(2) 将几对x和y的值或图像上几个点的坐标代入上述泛函解析公式，得到以待定系数为未知数的方程；

(3) 求解方程，得到未知系数的值；

(4) 将得到的待定系数代入函数的解析表达式即可得到结果。

线性函数建模

函数建模的关键是将实际问题数学化，以解决最佳方案、最佳策略等问题。 建立解决实际问题的函数模型，就是从实际问题中抽象出两个变量，然后找到两个变量之间的关系，构造函数模型，运用数学知识来解决实际问题。

当比例函数和线性函数的形象被赋予实际意义时，它们的形象大多是线段或射线。 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围有一定的限制，即自动变量必须对实际问题有意义。 从图像中获取的信息一般为：

(1)从函数图的形状判断函数的类型；

(2)从横轴和纵轴的实际含义来理解图像上点坐标的实际含义。 在解决多变量问题时，可以分析这些变量之间的关系，选择其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求能够反映实际问题的函数。

从函数角度查看方程（集合）和不等式

一变量线性方程与线性函数的关系

任意一个变量的线性方程都可以转化为ax+b=0的形式（a、b为常数，a≠0），因此求解一个变量的线性方程可以转化为：当一个线性函数的值为0，求对应的自变量的值。 从图中，相当于已知直线y=ax+b来确定其与x轴交点的横坐标值。

线性函数与一个变量的线性不等式之间的关系

任何一个变量的线性不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b

线性函数和二变量线性方程组

(1) 坐标为一次方程ax+by=c的解的点组成的图像与一次函数y=-(a/b)x++c/b的图像相同。

(2) 二变量线性方程组

a1x+b1y=c1、a2x+b2y=c2的解； 可以看作两个线性函数 y=(a1/b1)x+c1/b1 和 y=-(a2/b2)x+c2/b2 交集的图像。

知识点1 线性函数和比例函数的概念

如果两个变量x和y之间的关系可以表达为y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式，则称y为x的线性函数（x为自变量） )，特别是，当 b=0 时，y 被称为 x 的比例函数。

知识点2 函数图

由于两点确定一条直线，因此一般选择两个特殊点：直线与y轴的交点，以及直线与x轴的交点。 .这两个特殊点没有必要选择。

绘制比例函数y=kx的图形时，只需绘制点(0, 0)、(1, k)即可。

知识点3 线性函数y=kx+b的性质（k、b为常数，k≠0）

(1) k的符号决定了直线的倾斜方向；

①当k>0时，y值随着x值的增大而增大；

②当k﹤O时，y值随着x值的增大而减小。

(2)|k|的大小决定了直线的倾斜程度，即|k|中较大的一个

①当b>0时，直线与y轴相交于正半轴；

②当b<0时，直线与y轴相交于负半轴；

③当b=0时，直线经过原点，为比例函数。

(3) 由于k和b的符号不同，因此直线经过的象限也不同；

①如图所示，当k>0、b>0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图所示，当k>0、b<O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图所示，当k﹤O，b>0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图所示，当k﹤O、b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）。

(4) 由于|k| 决定了直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明两个锐角大小相等，而且是同位角，因此平行。 另外，还可以从翻译的角度来分析。 例如，直线y=x+1可以看作是比例函数y=x向上平移1个单位。

知识点4 比例函数y=kx（k≠0）的性质

(1)比例函数y=kx的像必须经过原点；

(2)当k>0时，图像经过第一象限和第三象限，y随着x的增大而增大；

(3)当k<0时，图像经过第二象限和第四象限，y随着x的增大而减小。

知识点5：点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图像关系

（1）如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图像上，那么x0和y0的值必须满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0和y0是满足函数解析表达式的一对对应值，那么以x0和y0为坐标的点P(1, 2)一定在函数的图上。

例如：点P(1, 2)满足直线y=x+1，即当x=1，y=2时，则点P(1, 2)在直线y=的像上x + l; 点P′(2,1)不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′(2,1)不在直线y=的像上x+l。

知识点6：确定比例函数和线性函数表达式的条件

（1）由于比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，因此只需一个条件（如一对x、y值或一个点）即可得到k的值）。

（2）由于线性函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k和b，因此需要两个独立的条件来确定关于k和b的两个方程，从而得到k和b的值，这两个条件通常是两个点或者两对x和y值。

知识点7 待定系数法

首先假设要求的函数关系表达式（其中含有未知的常数系数），然后根据条件列出方程组（或方程组），求出未知系数正比例函数的图像和性质，得到所需结果的方法称为待定系数法。 未知系数也称为待定系数。 例如：函数y=kx+b中，k和b为待定系数。

知识点8：使用待定系数法确定线性函数表达式的一般步骤

(1) 令函数表达式为y=kx+b；

(2) 将已知点的坐标代入函数表达式，求解方程（组）；

(3)求出k和b的值，得到函数表达式。

思维方法总结 (1)函数法。 (2)数形组合法。

知识规则总结（1）常数k和b对直线y=kx+b（k≠0）位置的影响。

①当b>0时，直线与y轴正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴负半轴相交。

②当k和b符号不同时，直线与x轴正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当k和b具有相同符号时，直线与x轴的负半轴相交。

③当k>O、b>O时，图像经过第一、二、三象限；

当k>0、b=0时，图像经过第一、第三象限；

当b>O、b<O时，图像经过第一、第三、第四象限；

比例函数知识点

比例函数定义：

通常，y=kx（k为常数，k≠0）形式的函数称为比例函数，其中k称为比例系数。

比例函数是线性函数，但线性函数不一定是比例函数。

比例函数是线性函数的一种特殊形式，即在线性函数y=kx+b中，如果b=0，即所谓的“y轴截距”为零，则比例函数。

比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）

当k>0（第一象限和第三象限）时，k越大，图像与y轴的距离越近。 函数值 y 随着自变量 x 的增加而增加。

当 k

比例函数性质：

领域

范围

平价

周期性的

R（实数集）

R（实数集）

奇函数

不是周期函数

单调性：

当k>0时，图像位于第一象限和第三象限。 从左到右，y随着x的增加而增加（单调递增），是增函数；

当 k

对称：

对称点：关于原点中心对称

对称轴：其所在的直线； 它所在直线的垂直平分线

比例函数定义的经典例子

1、对于比例函数y=2x，当x=1时，函数值y=。

分析：

对于比例函数 y=2x，

当x=1时，函数值y=2×1=2。

所以答案是：2。

2. 比例函数y=3x是经过点(0,)和(1,)的直线。

分析：

∵比例函数的一般形式为 y=kx，

∴当x=0，y=0时，

∴比例函数的图形必须经过(0, 0)点，

当x=1,y=3时，图像经过(1, 3)点。

所以答案是：0、3。

3. 比例函数y=2x的图形所经过的象限是（ ）

A、第一象限和第三象限

B.第二、第四象限

C、第一、第二象限

D、第三、第四象限

分析：

选择一个。

∵在比例函数 y=2x, k=2>0 中，

∴该函数的图形穿过第一象限和第三象限。

4. 请写出图像通过第一象限和第三象限的比例函数的解析表达式。

分析：

假设该比例函数的解析公式为y=kx(k≠0)，

∵这个比例函数的图形经过第一象限和第三象限，∴k>0，

∴满足条件的比例函数的解析公式可以为：y=x（答案不唯一）。

答案：y=x（答案不唯一）

5、已知比例函数y=kx（k≠0），且函数图上的点（2，-3），则y随着x的增大而增大（增大或减小）。

分析：

∵点(2,-3)在比例函数y=kx(k≠0)的图上，∴2k=-3，

解为：k=-(3/2)，∴比例函数的解析公式为：y=-(3/2)x，

∵k=-(3/2)

答：减少

练习题

1. 下列函数表达式中，y 是 x ( ) 的比例函数

A. y=-2x^2 B. y=x/3C。 y=1/(4x) D. y=x-2

2. 如果 y=x+2-b 是比例函数，则 b 的值为 ( )

A．0 b． -2C。 2D。 -0.5

4、下列说法正确的是（ ）

A.在圆面积公式S=πr^2中，S与r成正比。

B．在三角形面积公式S=(1/2)ah中，当S为常数时，a与h成反比。

C。 在 y=(1/x)+1 中，y 与 x 成反比

D、在y=(x-1)/2中，y与x成正比

5、下列选项中，y和x之间是比例函数关系（ ）

A.正方形的周长y(cm)与其边长x(cm)的关系

B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系

C．若直角三角形中一个锐角的度数为x，则另一个锐角的度数y与x的关系

D.一棵树的高度是60厘米。 每个月长高3厘米。 x个月后，树的高度将为y厘米。

6． 如果函数 y=(m_3)x|m|_2 是比例函数，则 m 的值为 ( )

A．3B． -3C。 ±3 D.不能确定

7. 已知比例函数 y=(k_2)x+k+2 的正确 k 值为 ( )

A. k=2 B. k≠2 C. k=-2 D. k≠﹣2

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