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预备知识 基本初等函数的导数

如果需要求导的函数可以看成是几个已知的导函数（如基本初等函数）经过四次算术运算或复合得到的函数，那么我们就可以直接利用一系列的求导规则来推导它的导数。

算术

\begin{}[ f(x) \pm g(x) ]' = f'(x) \pm g'(x)~,\end{}

\begin{}[ f(x)g(x) ]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ~,\end{}

\begin{} \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{ g(x)^2}~.\结束{}

复合功能

\begin{}f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)~.\end{}

详情参见《一变量复合函数的推导（链式法则）》

反函数

\begin{}[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} ~,\end{}

详细信息请参阅“反函数导数”。

1. 线性

我们先来证明一下。 对于求导来说，线性是指对几个函数的线性组合求导（即将几个函数乘以一个常数，然后相加）相当于分别求出这些函数的求导，然后再进行相同的线性组合。 由于函数加法和减法是函数线性组合的两种简单情况，因此只需证明求导是线性运算即可。设多个常量为$c_i$，多个可微函数为$f_i(x) $。 根据导数的定义，这些函数的线性组合的导数为

\begin{} \begin{} \frac{\{d}}{\{d}{x}} \sum_i c_i f_i(x) &= \lim_{h\to 0} \left[\sum_i c_i f_i( x+h) - \sum_i c_i f_i(x) \right] /h\\& = \sum_i c_i \lim_{h\to 0} [f_i(x+h) - f_i(x)]/h\\& = \sum_i c_i f_i'(x)~,\end{} \end{}

认证完成。

示例 1 求函数 $f(x) = 5\sin x + 3x^2$ 的导数

这里$f(x)$可以看作三角函数$\sin x$函数和幂函数$x^2$的线性组合。 两者都是基本初等函数，导数分别为$\cos x$ 和$2x。 $，由于求导是线性运算，所以我们只需要对两个函数的导函数进行同样的线性组合即可。

\begin{}f'(x) = 5 \sin' x + 3(x^2)' = 5 \cos x + 3(2x) = 5\cos x + 6x~.\end{}

2. 产品规则

现在证明一下，设两个函数分别为$f(x)$和$g(x)$，现在求$f(x)g(x)$的导函数。由导数的定义可知

\begin{}[f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{ h}~.\结束{}

图1：乘积法则的几何理解

从几何角度()来说求导法则，我们可以把$f(x),g(x)$视为矩形的两条边长，它们的乘积$f(x)g(x)$就是面积​​矩形的面积，$f(x+h)g(x+h)$可以看成另一个矩形的面积。当$x$增加$h$时，让$f$和$g$增加$分别是\Delta f$和$\Delta g$（图中假设它们都大于零，其他情况同理），那么矩形的面积增加量可以分解为三部分

\begin{}f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f\Delta g~,\end{}

代替

\begin{}[f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta f}{h} g + f \lim_{h\to 0} \frac{\Delta g}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{\Delta f\Delta g}{h}~.\end{}

很容易看出，前两项中的两个极限分别是$f、g$的导数，而在第三个极限中，两个增量的乘积比前两个极限中的变小速度要快得多（我们称之为称为二阶无穷小），因此第三极限为零。 从几何角度来看，这是因为随着$h$变小，右上角小矩形的面积$\Delta f\Delta g$与两个长矩形的面积相比可以忽略不计。

3. 商业法

为了证明，我们可以将$f(x)/g(x)$视为$f(x)$乘以$1/g(x)$，因此我们可以直接使用乘积规则。 但如何求出$1/g(x)$的导数呢？ 我们可以将其视为 $h(x) = 1/x$ 和 $g(x)$ 的复合函数 $h[g(x)]$。 其中$h'(x) = -1/x^2$()。根据，有

\begin{} \left[\frac{1}{g(x)} \right] ' = h'[g(x)]g'(x) = -\frac{g'(x)}{g^ 2(x)}~.\结束{}

最后使用乘积法则

\begin{}\begin{} \left[f(x) \frac{1}{g(x)} \right] ' &= f'(x) \frac{1}{g(x)} - f (x) \frac{g'(x)}{g^2(x)}\\&= \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f '(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}~,\end{}\end{}

认证完成。

线性组合是线性代数中的一个概念。 在线性代数中，可以在线性空间上进行线性组合，例如几何向量()。 一组特定的函数可以看成一个线性空间（）。

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