正四面体 （知识点）顶点立体角的正三角形

对于正四面体ABCD，连接相邻边的中点形成一个小正三角形。 切掉四个小的正四面体，得到一个正八面体。 ABCD 每条边的内二面角决定球面二面角。 有棱角的形状； 通过平面几何在ABCD上剖开，很容易发现这里的二面角为（1/3），对应的立体角为（1/3）。 对于每条边，立体角（例如E点）由三部分组成，即两个小正四面体各自的顶点立体角正四面体，加上正八面体的顶点立体角，则有：

2\alpha+\beta=(\frac{1}{3})

在立方体中，将 A、D、F、H 四个点两两相连，形成正四面体 ADFH。 如果去掉正四面体，就会剩下四个全等的四面体。 仔细观察其中的一个，比如AFGH，你会发现它实际上是正八面体的1/8。 G点的立体角是六芒星极限，即π/2，体内其他三个立体角是正八面体顶点处的立体角A8的1/4。 在A、D、F、H这四个点处，这三个立体角加上正四面体ADFH的一个顶点立体角，构成一个六角形立体角，则有：

\alpha+3\cdot(\frac{\beta}{4})=\frac{\pi}{2}

通过结合两个方程我们可以求解：

\beta=2\pi-(\frac{1}{3})\.35935

\alpha=(\frac{1}{3})-\pi\。