：定比分点坐标公式（1+λ）

固定得分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）

假设P1和P2是直线上的两点，P是l上与P1和P2不同的任意点。 则有一个实数λ，使得向量P1P=λ·向量PP2，λ称为点P除有向线段P1P2的比值。

如果 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P(x,y)，那么我们有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ); （固定得分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。 （固定得分点坐标公式）

我们将上面的公式称为有向线段P1P2的定分公式

★三点共线定理

若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线

★三角形重心判断公式

在△ABC中向量公式，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心

[编辑本段]矢量共线性的重要条件

如果b≠0，那么a//b的重要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb。

a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

★零向量0与任意向量平行。

[编辑本段]矢量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是'+yy'=0。

★零向量0垂直于任何向量。

设a=(x,y)，b=(x',y')。

★向量加法

向量相加满足平行四边形规则和三角形规则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算法则：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

★向量减法

如果a和b是相反的向量，则a=-b，b=-a，a+b=0。 0的倒数是0

AB-AC=CB。 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 然后 ab=(xx',yy')。

★多种载体

实数λ与向量a的乘积为向量，记为λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ>0时，λa与a同向；

当λ<0时，λa与a方向相反；

当λ=0时，λa=0且方向是任意的。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：根据定义，如果 λa=0，则 λ=0 或 a=0。

实数 λ 称为向量 a 的系数。 乘数向量λa的几何意义是对表示向量a的有向线段进行延伸或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段向原方向（λ>0）或反方向（λ<0）拉长∣λ∣倍；

当|λ|<1时，表示向量a的有向线段缩短为|λ| 沿原方向（λ>0）或反方向（λ<0）次数。

★数与向量的乘法满足以下算术定律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa。

数到向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。

数乘向量消去律：①若实数λ≠0且λa=λb，则a=b。 ② 若a≠0且λa=μa，则λ=μ。

★向量的定量积

定义：已知两个非零向量a、b。 设OA=a，OB=b，则角AOB称为向量a与向量b的夹角，记为<a,b>，规定0≤<a,b>≤π

定义：两个向量的定量积（内积、点积）是一个量，记为a·b。 如果a和b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos<a, b>； 如果a和b共线，则a•b=+-|a∣|b∣。

向量量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量量积算术定律

a·b=b·a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)（数乘结合律）；

(a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

★向量量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b<=>a·b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

★向量积与实数运算的主要区别

1、向量的量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)； 例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的量积不满足消去律，即：从a·b=a·c（a≠0）不能推导出b=c。

3. |a•b|≠|a|•|b|

4. 从|a|=|b|，不能推出a=b或a=-b。

4. 向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记为a×b。 如果a和b不共线，则a×b的模为： ∣a×b∣=|a|•|b|•sin<a,b>； a×b的方向为：垂直于a和b，且a、b和a×b依次构成右手系。 如果a和b共线，则a×b=0。

★向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a、b为边的平行四边形的面积。

a×a=0。

a‖b<=>a×b=0。

★向量的向量积运算法则

a×b=-b×a；

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)；

(a+b)×c=a×c+b×c。

注意：没有向量的划分，“向量AB/向量CD”没有意义。

★向量的三角不等式

1. ∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

① 当且仅当a和b相反时，取左边的等号；

② 当且仅当a、b方向相同时，取右边的等号。

2.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣ab∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b方向相同时，取左边的等号；

② 当且仅当a和b相反时，取右边的等号。

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