2017年全国课标二卷理科数学第14题，另一种解答方法

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在上一个问题中，我谈到了三角函数最大值的常规方法。 它给我们带来的想法是：当我们想要求一个纯粹由三角函数组成的函数的最大值时，常规的想法是我们要把它转换成f(x)=Asin(ωx+)的标准形式φ)，这个A就是它在整个数域中的最大值。

但现实世界并不总是“传统的”。 例如，有时你会发现有些函数实际上无法简化为f(x)=Asin(ωx+φ)的标准形式。 今天我们就来说说这个。 如何处理“非常规”问题。

这次我选择了2017年国家课程标准第二卷《科学与数学》第14题，来看看三角函数求最优值这道题的另一种解答方式。 我们先来看这个问题：

按照我们上次讲的常规方法【点击回顾】，如果我们想要最终得到f(x)=Asin(ωx+φ)的标准形式，我们需要先将函数转换为f(x) =Asinφcosωx+Acosφsinωx 这种形式，然后利用三角函数的和角公式就可以得到最终的结果——但问题的关键是：并不是所有的公式都能得到 Asinφcosωx+Acosφsinωx 的形式，这就引出了我们的第一个问题：

/ 01. 永远不要做你做不到的事

凡事都是如此：如果你想成功，首先你必须选择一条至少“看起来”可行的道路——如果你选择的方向看起来不可行，那么我建议你不要冒险，否则你的人生命运不会乐观。

解决问题也是如此。 如果你观察Asinφcosωx+Acosφsinωx，你可以发现这个公式至少有两点值得注意：

1. 每个项包含 x 部分的次数相同（均为一级项）

2、x每一项的系数相同（均为ω）；

换句话说：如果你想得到Asin(ωx+φ)的标准形式，那么你的原始函数至少需要预处理为Asinφcosωx+Acosφsinωx——它的基本特征是：每一项的次数和系数都相等。

由此，我们得到了“三角函数最优值问题”的标准思想。

/ 02.标准思想：三角函数最优值的思维框架第一步：得到一个三角函数后，首先要考虑“相等其次数”

我们再看一下问题中的公式：

它的第二项是sin²x，它的第一项是cosx，可以看作cosx的一次幂。 在这种情况下，它的指数的次数不相等，我们的第一个想法应该是使次数相等。 。

如何使次数相等是解决问题的一个突破点，因为在高中的三角函数部分，有很多很多公式，但几十个公式中只有一个公式可以用来调整指数三角函数的次数。 ，即余弦的倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x：

当然，如果我认为公式sin²x+cos²=1可以转化为两种形式：2cos²x-1和1-2sin²x，进一步化简还可以得到sin²x=1-cos(2x)/2和cos²x=1 + 这两个公式是 cos(2x)/2，因此您可以使用此公式更改函数的次数。

但注意，随着它的次数减少，sinx的系数增大，sin²x的系数从1变成2。但无论如何，这个公式是高中三角函数章节中唯一可以改变次数的公式三角函数。

步骤 2：统一包含 x 项的系数

均衡表达式的次数后，我们必须考虑第二点，即均衡包含 x 项的系数。

但我们发现得到这个公式后，我们没有办法把cos2x的系数2变成1。

那么这个时候我们就要认识到，上面的解题思路是行不通的！ ——这时候我们需要寻找另一种与上述思路不同的方法来解决问题。

补充：当阶数和系数无法同时考虑时，优先保证系数一致，将阶数的差异转化为二次函数进行处理

现在让我们回到问题。 上题中，我用蓝笔单独标记了sin²x。 也就是说，当降阶方法不起作用时，一题中同时存在sinx和cosx。 当我们看到三角函数的平方时，我们不得不想到公式sin²x+cos²x=1：将sin²x替换为1-cos²x；

简化到这一步，我们得到公式f(x)=-cos²x+√3cosx+1/4：

至此，这个问题就转化为求cosx的二次函数的最大值了。 当然，我们可以用另外一个符号来代替cosx，那就是：let y=cosx——但是在代替cosx的时候，一定要注意y在哪里。 代表范围也发生了变化。

原函数的定义域为[0,π/2]。 带入cosx后，我们可以求出y=cosx的取值范围：即[0,1]。

也就是说，如果我们把cosx换成y，这个问题最终会转化为求y属于[0,1]时关于y -y²+√3y+1/4的二次函数的最大值：

/ 03.回顾：本题五点总结

最后我们来梳理一下这个问题给我们带来的重要信息：

1、如果要将函数转换为f(x)=Asin(ωx+φ)的标准形式，需要首先保证x项的次数和x的系数同时一致；

2、如果不能同时保证，则应优先考虑x的系数，将方程转化为二次函数；

3. 高中三角函数本章中唯一可以改变三角函数次数的公式是余弦的倍角公式。

4、三角函数的隐藏条件是sin²x+cos²x=1。 当一道题中同时存在cosx和sinx以及三角函数的平方时，我们就要把上面的公式联系起来。

5、替换函数符号时倍角公式，要注意原函数和当前函数定义域的区别。

求三角函数最大值这个问题并不是一个常规问题，因为用常规思路降低次数后，无法继续简化统一x系数，所以我们需要寻找其他思路来回答这个问题。

类似的题也出现在2018年国卷一理数第16题中，采用了同样的解答策略。 你可以在《万剑归宗十套第二期：2018年高考真题》中聆听道相关话题的讲解。

希望今天的内容能够对您有所帮助。

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