数轴 为什么孩子会加减法，还要在数轴上跳来跳去？

关于心理意象，听起来可能不够清晰，所以我用“数学关系图式”来代替这个术语，意思是用来表达数学关系的图表。 看起来很简单，就是一行数字而已。 起初，孩子们只接触到正整数，后来扩展到负数和有理数。 它们在整个小学甚至初中都是非常重要的图式，但它们往往会被忽视。

因为这个概念非常重要，所以我在第一阶段数学微课中将其作为重点引入。 很多孩子，甚至是成年人，都不太明白为什么孩子会加减法，会进行口头计算。 玩像在数轴上跳来跳去这样的游戏有意义吗？ 班上有家长指出，学校数学老师说，数轴的概念只有初中才教。 现在不用教孩子了，孩子也学不会。

如果我们只是把数轴看作六年级有理数单元中的概念技能，孩子需要掌握的知识点，那么确实没有必要提前教授知识。 但如果将其作为孩子理解数字和数字表示概念的图式，那么它就是孩子刚开始理解数字时必须建立的“心理形象”。

这里我们强调“心理学”。 当学龄前儿童开始理解整数时，这种心理形象可以帮助孩子构建对“数量的含义”的理解。 可以说是整数的核心概念结构。 通过这个工具，孩子们可以了解数量。 物体的大小是多少？ 能够理解静态量是如何表示的，也能够理解动态量之间的变化具有什么样的“精神运动”模式。 这种心理意象就能促进孩子理解数量与空间的关系。 结合起来，思维逐渐接近纯粹抽象的“数世界”。

可以说，心理数轴的建立是孩子思维的转折点。 在《人脑如何学习数学》中，对于不同年龄段孩子的数字概念结构的发展，有对数轴结构的详细描述。 心理数轴的建立可以促进孩子数感的建立。

关于数感，请阅读以下内容：

至于数轴是如何在心理空间中构建数量概念的，我用了两个六年级的题来说明数轴的强大功能。 请看下面的图片：

这是有理数单元中常见的问题。 比较数字的大小。 估计很多孩子到了初中，遇到代数题，最常见的方法就是把数字“代数”并尝试一下。 这是非常不可取的。 不仅没有拓展孩子的数字概念，构建更宏大的数字结构，也不利于孩子逻辑思维的发展，让他们停留在非常原始的水平，这会让以后的数学学习变得越来越困难。

从逻辑上看，我们可以解释上面的问题，因为b是负数。 如果a+b>0，则a必须是正数。 到了这个程度，孩子或许能够理解，但是轮到他们比较三个数字的时候，你就会一头雾水。 如何才能更好地帮助孩子理解并快速迁移所学知识？

这需要使用数轴。 我们用另一种方式来表达正数和负数在数轴上的分布：“镜像”。 这是一个比较具体的概念。 因为有想象空间，孩子很容易理解“数的相反数”。 “这就像沿着数轴上的原点翻转镜像。

在这种情况下，b小于0，b的相反数-b是一个正数，在0的右侧。如上图所示，我用两条斜线段来表示之间的距离两个线段相等，是镜像。

a+b，一个正数加一个负数，实际上可以看成是减-b。

图中a到-b的距离代表a+b的值。 也可以理解为上图中第二个数轴上反映的两条红色弧线的差异。

同时孩子也能理解-b代表数轴上的一个点，代表正数。 从原点到-b 的距离相当于|b|。 绝对值可以理解为数轴上两点之间的距离。

在这里，数轴的心理形象所能提供的最重要的支持，实际上是正数和负数相反含义的具体表现。 正是因为可以用镜像来表达，所以我们可以让孩子明白a一定在-b的右边，因为只有这样才能使得a+b>0。

并且因为用a来抵消0到b的距离，所以0到a的距离大于0到b的距离。 数轴上最容易理解的是，b 镜像后，-b 落在 0 和 a 之间的位置之间。 由此我们很容易回答这个问题，a是最大的。

数轴的优点是可以一起思考线段的距离和方向，可以快速反应出有理数运算之间的关系。 我们再看另一个问题：

很多时候，孩子无法完全理解负数和绝对值符号。 他们可能对各种性质都记忆得很好，但当问题发生变化时，他们就会傻眼。 主要原因在于有理数的表示。 数量概念没有完全掌握，转换困难。 不够灵活。

要达到这种灵活性，利用好数轴，可以让孩子走捷径，通过数轴上的训练，快速掌握有理数运算的规则。 回答这个问题的关键是在数轴上表达两对镜像数，如下图：

根据题目条件，我们知道a可能是3或者-3，b可能是5或者-5。 如果 ab 具有相同的符号，则数轴上的 ab 是第一个数轴上的两个数字。 弧之间的距离相等，但肯定小于b。

现在条件告诉我们的是ab的绝对值等于8，也就是说它们不能有相同的符号，只能有不同的符号。 由于符号不同，ab相当于a加b的相反数。

在数轴上，我们很容易想象它是0到3的距离，加上0到-5的距离，即5的镜像，或者反过来说，是0到-3的距离，加上0 到 5 - 5 距离的镜像。 相当于上图中第二个数轴上的短弧+长弧之间的距离。 显然，会有两个结果，一个正数，一个负数。

同理，a+b等价于a减b的相反数。 在数轴上，它相当于从3到5，或者-3到-5的距离。 虽然左右两边的距离相等，但会产生两个正数和负数。 ，两个结果。

为了写一篇文章，我把以上两个问题全部用文字表达出来。 其实辅导孩子的时候，不需要用言语表达那么多。 当我们用这种方式来表示“数字”的时候，就给孩子提供了一些独立思考的机会。 空间可以引导他们的思维往逻辑推理的方向发展。 孩子们可以轻松地利用数轴理清它们之间的关系，对“相反”这个数学概念的理解也会更加深刻。 当这样思考时，我们是在帮助孩子用纯粹抽象的逻辑来思考，而不是用代数的“具体”机械计算。

如果在孩子数学启蒙初期就非常注重引导孩子思考数字之间的关系，尤其是数字之间的关系，无论是数学表达式还是数学关系图，对于孩子数学思维的发展确实是有好处的。数学思维数轴，但如果一开始就放弃了让孩子深入理解数字之间关系的机会，那么你实际上就关上了孩子数学的大门。 你只要让孩子坐着看电影，让他们记住里面播放的具体内容就可以了。 然而，看数学电影，并不意味着孩子练习数学。 两者之间有着天壤之别。