积分最基本、最重要的定理：线性法则。学习后，您将能够计算大多数不定积分。

高等数学中最基本、最重要的不定积分定理称为“线性和定理”。学习后，您将能够求解大多数不定积分。

定理内容如下：如果函数f和g在区间I上都有原函数，且k1和k2是两个任意常数，则k1f+k2g在I上也有原函数，且(k1f+k2g) dx=k1fdx+k2gdx。

这是由“函数和求导定律”决定的。因为两个不定积分之和的导数等于它们各自导数之和，而求导和积分是一个倒数过程，结果等于被积函数，所以原函数的和等于原来的功能。

例如，以下不定积分都可以使用线性规则求解。

(1)求p(x)dx，p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an； (2)(x^4+1)/(x^2+1)dx;

(3)dx/((cosx)^2(sinx)^2); (4)cos3x·sinxdx; (5)(10^x-10^(-x))^2dx。

解：(1)p(x)dx=a_0/(n+1)xn+1+a_1/nxn+…+a_(n-1)/nx2+anx+C。 [求多项式函数的原函数。利用它，我们可以回顾一下幂函数的不定积分公式。因为多项式是和的概念，它的原函数等于每一项原函数的和。根据幂函数的不定积分公式：指数加1，加上1的指数作为分母，保留前面的系数，就可以得到多项式的不定积分了。注意，虽然每一项的原函数都有一个常数项C，但是无论有多少个常数，它们的和仍然是一个常数C，所以以后这种情况，只需要一个C就够了。 】

(2)(x^4+1)/(x^2+1)dx=(x^2-1+2/(x^2+1))dx 【求分数函数的原函数，你可以将分数函数化为三个函数的和，然后分别求出每个函数的原函数。它涉及到原函数是反正切函数的不定积分。 】

=x^2dx-dx+2/(x^2+1)dx=x^3/3 -x+2arctanx+C。

(3)dx/((cosx)^2(sinx)^2)=(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx 【与三角函数相关的不定积分，关键是三角函数函数需要精通公式]

=(secx)^2dx+(cscx)^2dx=tanx-cotx+C。

(4)cos3x·sinxdx=1/2*(sin4x-sin2x)dx 【利用正弦差分公式】

=1/2*sin4xdx- 1/2*sin2xdx=-1/8*cos4x+1/4*cos2x+C。

(5)(10^x-10^(-x))^2dx=(100^x-2+100^(-x))dx 【完全平方公式的直接展开】

=100^xdx-2dx +100^(-x)dx=100^x/ln100-2x+100^(-x)/(-ln100)+C

=(10^2x-10^(-2x))/(2ln10)-2x+C。