用最通俗的语言，分析微分、求导和积分之间的关系，推导出一个重要的公式

老黄想用最通俗的语言告诉大家微分、求导和不定积分之间的关系。这是困扰很多人的问题。如果黄老师的解释不好，欢迎批评和讨论。当然，最重要的其实还是最终总结出来的公式。

导数分为两类：导数值和导函数。导数值实际上就是求函数图像在某一点的切线的斜率k。显然此时一定有一条切线，于是就有了斜率k的问题。请注意，如果存在切线，则斜率可能无穷大，在这种情况下导函数将毫无意义。

只要k 是有限值，导数函数就表示其关于自变量x 的函数。即，k=f'(x)。我们习惯以y=f'(x)的形式记录。或者直接表示为y'。

推导的方法是通过对自变量x求导来实现，自变量的微分记为dx。当对自变量求导时，函数也会被求导，记为dy。由此，得到微分函数f'(x)=dy/dx的微分形式。我们称之为微商。微商实际上是差商的极限，这可以追溯到导数的定义。

因此，可以说微分是一种推导的方法，但并不意味着微分就等于推导。

积分，顾名思义，就是将微分的结果再次叠加。想一想，上面你把原来的函数切割成无数个小块，然后再把它们叠起来。不是还是原来的功能吗？然而，此时，你无法返回到原来的位置，因为垂直位置变得不可确定，所以我们称这种类型的积分为不定积分。稍后我们会讨论定积分，但那是另一回事了。定积分也可以叠加，但侧重点不同。

因此，可以说积分是微分的继续，而不定积分和求导是相互的过程。

根据三者之间的关系，我们可以得到以下四个公式。

证明： (1)(f(x)dx)’=f(x)； (2)f’(x)dx=f(x)+C；

(3)d(f(x)dx)=f(x)dx; (4)df(x)=f(x)+C。

说明：（1）不定积分求导的结果是被积函数；

(2) 导函数积分的结果是包含原函数的函数族。垂直方向的位置无法确定，因此通过加上常数C来表示；

(3)最后一个公式是最重要的。是指对微分重新积分，得到原函数所属的函数族。

这些公式很难证明，因为它们太抽象了，但越困难、越有挑战性的事情，黄越喜欢它。

证明：根据不定积分的定义，我们知道f(x)有一个本原函数，

假设f(x)的原函数为F(x)+C，即f(x)dx=F(x)+C。 【这是每个公式的基础】

(1)(F(x)+C)’=f(x)，(f(x)dx)’=f(x)。

(2)(f(x)+C)’=f’(x)，f’(x)dx=f(x)+C。

(3)d(f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx。

(4)df(x)=f’(x)dx，df(x)=f’(x)dx=f(x)+C。

我们经常使用最后一个公式来求一些不定积分，例如：

示例：使用df(x)=f(x)+C 求sinxcosxdx。

解：dcos2x=-2sin2xdx=-4sinxcosxdx，

sinxcosxdx=-1/4*-4sinxcosxdx=-1/4dcos2x=-1/4*cos2x+C。