如果用等价的无穷小代替

tanx~x, sinx~x

所以

lim(x-0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x-0)(x-x)/x^3

=0

这是错误的用法

由于分子和分母的阶数不同，用等效的无穷小来替换它们不够“准确”，并且会导致错误。

正确的解决方案是：

lim(x-0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x-0)[tanx(1-cosx)]/x^3

=lim(x-0)tanx/x*lim(x-0)(1-cosx)/x^2

=1*1/2

=1/2

从上面的问题我们可以看出，使用等价无穷小替换0/0类型限制是有局限性的。

因此，引入了一种求（0/0型）极限的方法：洛皮达定律

二、洛必达法则

1. 类型0/0

如果： (1) f(x)、g(x) 在x=a 且g'(x)0 的质心邻域内可微

(2)lim(x-a)f(x)=0, lim(x-a)g(x)=0

(3)lim(x-a)[f'(x)/g'(x)]=A

那么lim(x-a)[f(x)/g(x)]=A

证明：

令f(a)=0，g(a)=0，函数值对极限值没有影响，因此可以取任意值

lim(x-a)f(x)=f(a)=0

lim(x-a)g(x)=g(a)=0

因此，f(x) 和g(x) 在x=a 邻域内连续，在质心邻域内可微且g'(x)0

所以f(x)/g(x)=[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(xi)/g'(xi),(之间的xi a 和x)

所以lim(x-a)f(x)/g(x)=lim(x-a)f'(xi)/g'(xi)

x-a 是xi-a

原创风格

=lim(xi-a)f'(xi)/g'(xi)

这就是证明！

2. 无穷大/无穷大型

如果： (1) f(x)、g(x) 在x=a 且g'(x)0 的质心邻域内可微

(2)lim(x-a)f(x)=无穷大，lim(x-a)g(x)=无穷大

(3)lim(x-a)[f'(x)/g'(x)]=A

那么lim(x-a)[f(x)/g(x)]=A

证明方法同上。