这个不定积分公式是不可预测的，但很多人只知道它的递归形式

余弦的整数次方与正弦的整数次方乘积的不定积分是一个相当复杂的积分公式。并且会有很多的改变。说是深不可测也不为过。很多人只在高等数学课本上看到递归形式，认为掌握递归形式就够了。如果你这样想的话，数学是很难学好的。

将推导公式组织成高级数学证明题，形式如下：

若I(m,n)=(cosx)^m*(sinx)^ndx，则当m+n0时，证明：

I(m,n)=(cosx)^(m-1)*(sinx)^(n+1)/(m+n)+(m-1)/(m+n)*I(m-2) ,n)

=-(cosx)^(m+1)*(sinx)^(n-1)/(m+n)+(n-1)/(m+n)*I(m,n-2)。

这里实际上有两个公式。我们先证明第一个公式。首先，我们可以使用cosx=cotx*sinx 将被积函数变换为以下形式：

其中(sinx)^(m+n-1)*cosxdx=1/(m+n)*d(sinx)^(m+n)，这完全是受到公式中分母的启发：

然后应用分部积分公式：

将前面的分数转化为公式右边的分数形式，通过微分计算可以得到下面的不定积分：

最终的不定积分是I(m-2,n)。

再次证明第二个公式的时候，可以用上面同样的原理，但是重复的计算对于老黄来说太无聊了，所以老黄改变了主意。首先使用(cosx)^mdx=-1/(m+1)* d(cosx)^(m+1)：

然后用分部积分法：（这个公式很重要，一定要掌握）

然后求以下积分的微分部分：

利用(cosx)^2=1-(sinx)^2，可以转换成如下形式：

这是一个关于I(m,n) 的方程。通过移动术语并组合相似的术语，我们得到：

消去分母，则系数等于1，可得：

至此完成了递推公式的证明。点击解决一个简单的例子：

示例：求(cosx)^2(sinx)^4dx。

我们有两个公式可供选择：

选择第一个公式给出：

下面的积分使用正弦的正整数幂公式来求解：

选择第二个公式得到：（比较结果的优劣）

显然，用这种方法并不能直接得到结果。因此，我们需要将公式再次应用到后续的不定积分中。这里省略这一步，直接写出结果：

我们可以看到，解决这类问题至少有两种方法和四种情况。这两种方法是分别用公式来减少cosx或sinx的幂。如果化简到0次方，可以用正弦或余弦的正整数次方公式来求解；如果降到1次方，就可以进行微分。通过将其转化为关于正弦或余弦幂函数的不定积分来求解。如果你愿意，你还可以通过错开它们来降低功率，这感觉有点像在赛道上驾驶一辆波浪形的快车。

这类问题有很多变体。上述方法只是一般方法。具体的问题可能需要具体的方法，比如下面的练习：

练习：求(cosx)^4*(cotx)^2dx。

看上去不属于此类问题，但是我们可以将其转化为此类问题：

正如你所看到的，这里有一个负索引。我应该怎么办？没关系，递归公式没有规定不能为负整数，所以还是用公式。在这里，选择第一个公式并将其连接两次得到：

现在m+n=0，不符合公式。我应该怎么办？事实上，此时，被积函数可以转化为余切（有时也称为正切）的正整数幂的形式：