与Alevel 数学中涉及的所有三角函数相关的积分技能

首先我们讲一下“一阶”三角函数，包括sin x、cos x、tan x、cot x、sec x、cosec x。首先要知道这六个三角函数是可以直接积分的，即如下积分公式：

并且大家需要知道，在计算tan x 和cot x 的积分时，涉及到以下积分技巧：

例如：

同样，你可以用同样的方法自己求cot x 的积分。

下面我们讲一下“二次”三角函数，主要有sin2 x、cos2 x、sinxcosx、tan2x、cot2x、sec2 x、cosec2 x、secxtanx、cosecxcotx。

前三个积分主要涉及双角公式和逆链式法则，如：

同样的方法可以得到：

sinxcosx的积分采用了sin2x的展开式，即：

接下来我们知道，sec2 x、cosec2 x、secxtanx、cosecxcotx的积分可以直接使用积分公式计算，即：

tan2x 和sec2x、cot2x 和cosec2x 之间有重要的恒等式：tan2x=sec2x-1； cot2x=cosec2 x-1，所以tan2 x 和cot2 的积分求解。

下面要讨论的三角函数积分也是“二次”的，但上述技术无法解决此类问题。相反，必须使用产品化和差异化的技术。例如，求sin3xcos2x的积分，我们知道sin(3x+2x)=sin3xcos2x+cos3xsin2x，sin(3x-2x)=sin3xcos2x-cos3xsin2x。将两个方程右边相加，得到2sin3xcos2x，左边等于sin5x+sinx，所以将sin3xcos2x的积分转换为1/2(sin5x+sinx)的积分，即“积分和与差值”，本质上是利用了正弦或余弦的和差角展开公式。同理，你可以尝试求sin5xsin2x、cos3xcosx的积分。

最终的三角函数积分问题主要涉及以下两类积分技术：

刚才我们在计算tan x 和co tx 的积分时讲了第一种。第二种如下：

求cosxsin3x的积分，我们知道sin x的导数是cos x，所以原积分等于1/4sin4x。如果你不明白，你可以尝试反向推导。下面的例子可以用来进一步练习：