一元三次方程求根公式的归纳与解法

三次方程的求根公式无法用一般的演绎思维导出，采用与二次方程求根公式类似的匹配方法，只能将诸如ax^3+bx^2+cx+d+0这样的三次方程的标准形式形式化为x^3+px+q=0的特殊形式。

三次方程的解法只能用归纳思维来得到，即根据一次方程、二次方程和特殊高阶方程的根公式形式，总结出三次方程的根公式形式。我总结出的x^3+px+q=0形式的三次方程的根公式形式应该是x=A^(1/3)+B^(1/3)，也就是两个立方根的和。总结出三次方程的根公式形式后，下一步就是求立方根的内容，也就是用p和q分别表示A和B，方法如下：

（1）对 x=A^(1/3)+B^(1/3) 两边求立方可得

（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

（3）由于 x = A^(1/3) + B^(1/3)，因此（2）式可变形为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，通过移动项我们得到

（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0。将此与三次方程和​​特殊形式x^3+px+q=0进行比较，可知

（5）-3（AB）^（1/3）=p，-（A+B）=q，简化得到

（6）A + B = -q，AB = -（p / 3）^ 3

（7）这实际上把三次方程的求根公式转化为二次方程的求根公式，因为A和B可以看作是二次方程的两个根，而（6）是关于形式为ay^2+by+c=0的二次方程的两个根的韦达定理，即

（8）y1 + y2 = -(b/a)，y1*y2 = c/a

（9）比较（6）和（8），我们可以令 A = y1，B = y2，q = b/a，-(p/3)^3 = c/a

（10）由于形式为 ay^2+by+c=0 的二次方程的根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

可以转换成

（11）y1＝－（b/2a）-（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将式（9）中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入式（11），可得

（12）A＝－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

B = -(q/2) + ((q/2)^2 + (p/3)^3)^(1/2)

（13）将 A 和 B 代入 x = A^(1/3) + B^(1/3) 可得

（14）x=（－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）

1. （14）式只是一个三次方程的实根解。根据韦达定理，三次方程应该有三个根。但是根据韦达定理，三次方程只需要一个根，另外两个根很容易求。因为计算太复杂二次方程求根公式，而且这个问题在历史上已经解决了，我不想在这上面花太多的精力。我做这个工作只是为了考验我的智力，所以只要解决了关键问题，我就不会花精力去求另外两个根。

第二，我也用过类似的方法解过一个四次方程。具体来说，我假设四次方程的根是 x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4) 的形式。我好像解过一次，但解了很多次之后，好像这个方法不能解四次方程。不过我想，如果能进一步总结出 A、B、C 的形式，应该就能找到四次方程的解法公式。因为计算太复杂，而且这个问题古人已经解决了，所以我没能完成这项工作。

3、通过解三次方程的求根公式，我得到了一个经验：如果不能用演绎法（直接推理）解决一个问题，那么换个思路，用归纳法（类比简单、特殊的类似问题的解法）往往能得到很好的结果。其实，人类解决问题往往就是这样的，大科学家之所以成为大科学家，也是这样。