数学启蒙：从奇数偶数到无穷集合，让孩子轻松理解数学概念

导读：据说一篇文章每出现一个数学公式，就会让一半的读者迷失。我仔细检查了这篇文章，发现整篇文章没有一个数学公式，所以大家可以放心阅读。这篇文章涉及到数学中一个很基础的概念：奇数和偶数。前半部分适合低年级学生家长抄作业，启发孩子认识奇数和偶数，后半部分适合中高年级学生。

前几天在《》一文中我提到了5块木头中间只有4个空格的问题，当时我将这个问题一直推导到了无限集大小的一一对应和比较。

接下来这个话题，我最近和女儿讨论了奇数和偶数。

不过，我没有使用奇数和偶数这样的名词，而是用单数和偶数，这样小孩子更容易接受。

我们先从最后一个话题开始：下图中，如果黄色木条和白色空格都是小人，那么A-1、B-2、C-3、D-4都可以牵手，但是E就没有可以牵手的伙伴了。

由此，我们可以得出奇数的概念，如果所有的人都成对出现，还剩下一个人，那么总数就是奇数；反之，如果每对人都成对出现，没有一个人剩下，那么总数就是偶数。

在此基础上，我们可以逐一检查1至12之间哪些是偶数，哪些是奇数。

经过这个过程，我的女儿有两个发现：

（1）单数和偶数都是间隔出现的；

（2）奇数的最后一位数字是1、3、5、7、9，偶数的最后一位数字是0、2、4、6、8。

当然，我们不能就此止步。接下来的问题很自然：如果将一个偶数加到另一个偶数上，结果是偶数还是奇数？

女儿自己想了几个例子，例如4+6、2+6、4+8，发现结果都是偶数。

那为什么偶数加偶数必定等于偶数呢？

我碰巧手上有一些木条，所以我拿起一些并把它们放在周围，以便最好地说明问题。

以 6+4 为例，6 是偶数，所以可以将其分成 3 组（如左图所示），4 也是偶数，所以可以将其分成 2 组（如右图所示）。然后这两个数再分成 5 组，这样就不用计算 10 这个具体的数字了（注意，这里不计算，这一点很重要），而且我们知道 6+4 的结果还是偶数。

如果我们把一个奇数加到一个偶数上，比如 7+4，结果会怎样？下图很直观的说明了这个问题。最后还有一根小棍子无法匹配，所以我们不需要计算具体的 11 就能知道加法的结果是一个奇数。

还有其它情况吗？

问这个问题可以帮助孩子培养分类意识，稍微思考一下就知道还有奇数+奇数的情况，比如下图中的7+5。

此时左边剩下的棍子和右边剩下的棍子就可以配对为一组，所以奇数加奇数的结果就是偶数。

两天后，女儿又问了另一个问题：为什么3、6、9、12……是奇数、偶数、奇数、偶数，而不是像1、3、5、7……那样是奇数？

问出这个问题一方面说明她至少懂得奇数和偶数的概念，另一方面也说明她还不能把以前学到的奇数加奇数等于偶数这样的结论运用到解决实际问题中。

这时候可以稍微提示一下：3是奇数，加起来的第一个3也是奇数，结果应该是什么？6是偶数，加起来的3是奇数，结果应该是什么？

当然，如果孩子年龄较大，我们可以进一步延伸这个问题：

（1）如果不是只将两个奇数相加，而是将多个奇数相加，会发生什么情况？

（2）如果把若干个奇数和偶数相加，最后的结果是奇数还是偶数？

好，我们来扩展一下问题：如果不是加法，而是乘法呢？

首先我们来分类一下，同样有偶数×偶数，偶数×奇数，奇数×奇数三种情况。

例如，以下示例显示两个偶数相乘，即 6×4。无需计算具体乘积，我们就知道结果为偶数。这里，我们利用了一个简单的事实，即乘法是加法的捷径。

以下是偶数乘以奇数的例子：6×3。我们不用计算乘积就知道结果为偶数。

如果它是一个奇数 x 一个奇数，例如 5×3，会怎样？

此时，我们可以将其中两个5（比如左边的两个）里的1合并为一组，但是右上角5里的1仍然是单独的一个，所以结果仍然是奇数。

其实奇数和偶数也可以这么理解，如果你把所有的东西平均分配给两个人，如果全部分完就是偶数，如果还剩下一个就是奇数。

顺着这个思路，我们还可以普及一下余数的概念。如果最后剩下不止一个，那么显然每个人至少还能再分一个，直到全部分完或者剩下一个为止。所以除以 2 后的余数只能是 0 或者 1。同理，如果要分给 3 个人，剩下的最多只能是 2，也就是除以 3 后的最大余数是 2。

关于奇偶校验的知识点很简单，自然界和人类哲学中充满了奇偶校验，更多信息可以阅读我之前的文章《》。

以下内容适合中、高年级。

小傲总是从七桥问题开始学习一笔画问题。一笔画出来的画，有以下两个特点：

（1）图是连通的；

（2）图上全部由偶数点组成，或只有两个奇数点。

大多数学生只是记住结论，然后用它们来解决问题。但总有少数有思想的学生会问这样的问题：图中可能只有一个奇点吗？

这涉及到图论中一个著名的定理：

对于任何无向图，奇数度的节点数是偶数。

这个结论的证明其实一点也不复杂。要做到这一点，我们首先要证明一个重要的握手定理：

（握手定理）在无向图中，所有节点的度数之和等于边数的两倍。

我们可以用两种方式来计算节点度数之和。一种是将每个节点的度数相加。另一种是考虑边：如果一条边连接两个不同的顶点，它对每个顶点的度数贡献 1。如果一条边连接两个不同的顶点，它对顶点的度数贡献 2。所以，不管怎样，一条边对度数的贡献都是 2。因此，所有节点的度数之和等于边数的两倍。

现在我们再来证明一下之前的结论。利用握手定理，我们知道所有节点的度数之和是偶数。如果奇数度的节点个数为奇数，那么所有节点的度数之和将为奇数，而不是偶数，这就与握手定理相矛盾了。因此，奇数度的节点个数只能是偶数。

除了利用奇偶数相加或相乘结果的奇偶性来解决问题外，很多问题都是从奇偶状态的变化入手的。特别是很多问题看似很难解决，因为问题千变万化，但只要掌握了背后的奇偶不变性，问题就迎刃而解了。

我曾经讲过一道由易到难的抛硬币问题，也是我公众号为数不多的视频之一，用到了奇偶不变的原理。

之前我在《碰撞问题》中也提到过一个三种颜色的小球碰撞的问题，如下：

有6个蓝球，4个红球，5个绿球。每次让这些球随机移动。如果两个不同颜色的球相撞，就会变成第三种颜色的球。例如，如果一个红球和一个绿球相撞，就会变成一个蓝球。如果两个相同颜色的球相撞，就会变成一个红球。例如，如果两个蓝球相撞，就会变成一个红球。由于每次碰撞都会丢失一个球，所以经过几次碰撞后，就会剩下一个球。那么，最后剩下的球会是什么颜色呢？

上面的问题看上去有点像概率问题，其实是奇偶校验问题，我们可以把所有发生碰撞的可能性都列出来，然后分析每次碰撞后蓝球、红球、绿球数量的变化。

蓝色 红色 绿色

蓝色 -2 +10

红队 0-1 0

绿色 0 +1-2

蓝色 红色 -1 -1 +1

蓝-绿-1+1-1

红色 绿色 +1 -1-1

可以看出，每次碰撞后，蓝球和绿球的总数要么为-2，要么不变。由于一开始蓝球和绿球的数量分别为6和5，而11的总和为奇数，所以不管如何碰撞，最后蓝球和绿球的数量之和一定为奇数奇数的概念，所以不可能全为0。由此可见，最后的球一定是蓝球或绿球，不可能是红球。

最后，让我用我在《儿童数学思维课》一书中提到的一个问题来结束本文：

A盒中有180个白棋子和181个黑棋子，B盒中有181个白棋子。李平每次从A盒中随机抽取两个棋子，如果两个棋子颜色相同，就从B盒中取出一个白棋子放入A盒中；如果两个棋子颜色不同，就将黑棋子放回A盒中。当他抽取一定数量的棋子后，A盒中只剩下一个棋子，请问这个棋子是什么颜色的？

写有用的信息不容易，既然你已经读到这里，请点赞、阅读、转发。

（全文完）

作者：书八，中科院计算机系博士，某大学计算机系教授，全国初中、高中数学奥林匹克一等奖、江苏赛区第一名、高考满分，畅销书《儿童数学思维课》、《儿童数学解题思维课》作者。

公众号成立5年多了，我们整理了50篇大家必读的文章，欢迎阅读转发！不喜欢看网页的可以扫文末二维码购买书籍！