冥王星函数： y=x^u(uR)。

指数函数： y=a^x（a 0 且a1）。

对数函数：y=(x)（a 0且a1，尤其当a=e时，记为y=ln(x)）。

三角函数：例如y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x)等。

反三角函数：如果y=arcsin(x)、y=arccos(x)、y=arctan(x) 等。

以上五类函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数通过有限数量的四次算术运算和有限数量的函数复合步骤组成并可用公式表示的函数称为初等函数，例如：

y=(1-x)、y=sinx、y=sin(x) + cos(x)、y=sin(x) * cos(x) 等都是初等函数。

双曲函数

在应用中，我们经常会遇到以e为底的指数函数y=e^x和y=e^(-x)生成的双曲函数及其反函数（反双曲函数）。它们的定义如下：

双曲正弦sh(x)=(e^x - e^(-x))/2。

双曲余弦ch(x)=(e^x + e^(-x))/2。

双曲正切th(x)=sh(x)/ch(x)=(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))

这三个双曲函数的简单性质如下：

双曲正弦的定义域为(-,+)。这是一个奇函数。它的图像通过原点并且关于原点对称。在区间(-, +) 内，它单调增加。当x 的绝对值很大时，其图形在第一象限接近于曲线y=(1/2) *(e^x)，并且接近于曲线y=-(1/2 ) *(e^-x) 在第三象限。 ),

双曲余弦的定义域为(-,+)。它是一个偶函数。其图像通过点(0, 1)并且关于y轴对称。在区间(-, 0) 内，它单调递减。它在区间(0, +) 内单调增加。 ch(0)=1 是该函数的最小值。当x的绝对值较大时，其图形在第一象限接近于曲线y=(1/2) *(e^x)，在第二象限接近于曲线y=(1/2) *象限。 (e^-x)。

双曲正切的定义域为(-,+)。这是一个奇函数。它的图形经过原点并且关于原点对称。在区间(-, +) 内，它单调增加。它的图形包含在水平直线y=1和y=-1之间，当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限接近直线y=1，并且接近直线y=- 在第三象限。 1.

证明：

sh(x+y)=sh(x) * ch(y) + ch(x) * sh(y)。

,

ch(x+y)=ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y)

除了上面的公式之外，还有下面的公式，就不一一证明了。

sh(x-y)=sh(x)ch(y) - ch(x)sh(y)。

ch(x-y)=ch(x)ch(y)-sh(x)sh(y)。

chx - shx=1。

sh(2x)=2sh(x)ch(x)。

ch(2x)=chx + shx。

反双曲函数

双曲函数的反函数为：

y=sh(x) 反函数： y=arsh(x)

y=ch(x) 反函数： y=arch(x)

y=th(x) 反函数：y=arth(x)

这些反双曲函数可以用自然对数函数来表示，讨论如下：

y=sh(x)=x=sh(y)=x=(e^y - e^(-y))/2 设u=e^y，则由上式可得u^2 - 2 * x*u-1=0

这是一个关于u 的二次方程，其根为u=x(x+1)。因为u=e^y0，正号是在上式求根之前得到的，所以u=x+(x+1)，又因为y=ln(u)，所以反双曲正弦y=arsh(x)=ln (x + (x+1))。

函数y=arsh(x) 的定义域为(-, +)。它是一个奇函数，并且在区间(-, +) 内单调递增。根据y=sh(x)的图形，根据反函数的作图方法，可以得到y=arsh(x)的图形，如下图所示。

同理，双曲余弦的反函数y=arch(x)=ln(x+(x-1)，定义域为[1,+)，图形如下：

双曲正切的反函数y=arth(x)=(1/2) * ln((1+x)/(1-x))。定义域为(-1, 1)，图形如下：

上一篇习题解答

f(x)=|x|, g(x)=1/x，求f/g。