数学的“自洽”

今天我们来谈谈数学的“自洽”。

数学世界的自洽性应该是令人震惊和惊讶的。我想知道我们是否有这个想法。当我们使用多个解来解决一个数学问题时，如何能够独立地维持各个解的正确性呢？数学真理似乎可以用多种不同的方式表达。几何直觉和代数论证如何交叉演绎出丰富的数学世界？

数学的正确性是分析性的。数学大厦只能建立在一些不言而喻且无法证明的公理的基础上。不同的公理可以构造不同的“数学”，例如欧几里德几何和非欧几里德几何。在公理系统内，系统是自洽的，定理之间并不矛盾，相关定理之间存在逻辑从属（推导）关系。

说一个公理系统是自洽的，是指在不考虑其他因素的情况下，该公理系统是一致的（可以在系统内证明自己的合理性）。然而，可能会发生这样的情况：虽然两个公理系统单独而言是自洽的，但它们放在一起却是不一致的。

公理系统还具有以下特点：对于系统中的任何命题，如果系统能够证明p，那么它就不能证明﹁p（不是p）。换句话说，公理系统不能同时推导出p 和﹁p。

说一个公理系统是自洽的，也意味着该系统下存在一个“模型”。也就是说，存在一个模型，使这个系统中的所有定理都成立，并且推理规则（标准）都保持其正确性。

模型的概念比较容易理解。例如，三维线性空间加上欧几里得度量，就是欧几里得几何的模型；自然数是皮亚诺公理系统的模型；从广义相对论的角度来看，宇宙本身加上敏氏度规就是黎曼几何的模型。

有趣的是，数学中的许多概念都是独立发展的，后来才发现它们是相互联系的（都可以在公理系统内统一）。例如，对数运算和指数运算的发明。从历史上看，发明对数是为了简化运算。纳皮尔的发明（为什么要使用没有发现的发明，看看数学是人类的“发明”还是“发现”？）对数的目的是创建一种运算规则，以便乘法和除法能够对应。加法和减法，而且当时还没有从幂运算升级而来的指数的概念，所以纳皮尔从运动的角度定义了基于几何描述的对数（参见自然对数的含义）。

1614年，纳皮尔发明了对数。

1637年，法国数学家笛卡尔发明了指数，比对数晚了20多年。

1770年，欧拉第一个指出对数是由指数推导出来的。此时，对数和指数的发明已经有一百多年了。

人类的直觉往往优于人类创造的知识体系。难怪很多人说“数学的终结是哲学，科学的终结是神学”。比如“费马大定理”可以直观地感觉到是正确的。人类花了358年才证明这一点。

看下面对费马大定理的介绍：

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就像物理学中的一个单位可以从不同的方向推导出来一样（例如能量单位焦耳可以从力学和电学两个方面推导出来），数学中的很多公式和定理也可以从不同的方向推导出来，有时一些推导方法甚至可以推导出来。需要绕很大的弯路。圆圈”。

圆的周长公式l=2r，我们从小学就知道了，它是基于pi的定义，很容易理解。但从微积分的方向推导这个公式并不简单（参见如何理解定积分）。首先我们需要知道平面曲线长度的计算公式（参见如何计算函数图的曲线长度）：

设区间[a,b]内y=f(x)图像的曲线弧长为s:

然后求函数y=1-x（图像是半圆）在区间[-1,1]内的图像的曲线长度l（首先要懂很多微积分）：

等等，上面的计算还要求反正弦函数的定义域是弧度，这就涉及到弧度的定义（参见弧度的含义）：

等一下，你还需要知道

的原函数为y=arcsinx，这样就可以进行上述计算。这足以说明：

你需要知道互为反函数的函数的求导规则：记住y=f(x) 的反函数为y=f1(x)，那么

这很容易理解：

这在另一篇文章《为什么要推导lnx 1/x？》中也有解释。

好的，我们知道x=siny 的反函数是y=arcsinx 所以：