三数不定积分的相关求解方法

第一类：由基本微分公式推导出来的综合微分公式

定理1：假设f(u)有原函数且u=(x)可微，则有代入公式：

f[(x)]’(x)dx=[f(u)du]u=(x)。

步：

(1) 将被积函数中的简单因子组成复合函数中间变量的微分；

(2)引入中间变量作为替代； (3)利用基本积分公式计算不定积分；

(4)变量恢复。

常用的微分公式：

(1) (1/x)dx=2d(x)；

(2) (1/x)dx=-d(1/x)；

(3) (1/x)dx=d(ln|x|)；

(4) exdx=dex；

(5) cosxdx=dsinx;

(6) sinxdx=-dcosx;

(7) (1/cosx)dx=secxdx=dtanx；

(8) (1/sinx)dx=-cscxdx=-dcotx；

(9) [1/(1-x)]dx=d(arcsinx)=-d(arccocx)；

(10) [1/(1+x)]dx=d(arctanx)=-d(arccotx)。

第2类：

定理2：假设x=(t)是单调可微函数，且'(t)0，且假设f[(t)]'(t)有原函数，则有代入公式： f(x)dx=[f[(t)]'(t)dt]-1(t)，其中-1(t) 是x=(t) 的反函数。

三角函数代换法：

三角形代换法

(a-x)=acost，令x=asint, t(-/2,/2)；

(a+x)=aect，令x=atant，t(-/2,/2)；

(x-a)=atant，设x=aect，t(0,/2)。

简单的无理数代换法：

R(x,n(ax+b))dx，设t=n(ax+b)；

R(x, n(ax+b), m(ax+b))dx，令t=p(ax+b)（p为m、n的最小公倍数）；

R(x,n[(ax+b)/(cx+d)])dx，设t=n[(ax+b)/(cx+d)]。

逆代换法：如果被积函数中存在分数函数，且分母的次数大于分子的次数，可以尝试使用逆代换，即令x=1/t。使用这种替换，通常可以消除被积函数分母中的变量因子x。

指数代入法：设ex=t。

常用积分公式补充：

tanxdx=-ln|cosx|+C; cotxdx=ln|sinx|+C; cscxdx=ln|cscx-cotx|+C;

secxdx=ln|secx+tanx|+C; 1/(a+x)dx=(1/a)arctan(x/a)+C;

1/(x-a)dx=(1/2a)ln[(x-a)/(x+a)]+C;

1/(a-x)dx=arcsin(x/a)+C(a>0);

1/（a+x）dx=ln|x+（a+x）|+C; 1/（x-a）dx=ln|x+（x-a）|+C。

2.分部积分法（利用两个函数乘积的求导规则求导）

定理1：假设函数u=u(x),v(x)具有连续导数，则udv=uv-vdu。

补充：v比较容易找到； vdu 比udv 更容易找到；

当被积函数为幂函数与正弦、余弦或指数函数的乘积时，幂函数在d前面，正弦、余弦或指数函数在d后面；

当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d前面，幂函数在d后面；

当被积函数为指数函数与正弦、余弦函数的乘积时，可以选择任意函数进行微分。经过两次部分积分后，会恢复到原来的积分形式，但系数会发生变化。这称为循环方法；

在求不定积分的过程中，有时需要同时使用代入法和分部积分法。

3. 有理函数的积分和三角函数有理式的积分

有理函数的积分：

有理函数的形式：有理函数是用两个多项式的商表示的函数，即具有以下形式的函数：

P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+a2xn-2+.+an-1x+an)/(b0xm+b1xm-1+b2xm-2+.+bm-1x +am) 其中，m、n为非负整数，a0、a1、a2、an和b0、b1、b2、bm均为实数，且a00、b0 0。当n

求真分数的不定积分：如果分母可以因式分解，则先将其因式分解，然后将其转换为部分分数，然后积分。

三角函数有理表达式的积分：