常微分方程组的求解Solving Ordinary Differential Equations

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二维绘图原理

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答复：

In[1]：=DSolve[{y'[x]==z[x],z'[x]==-y[x],y[0]==0,z[0]==1} ,{y[x],z[x]},x]

Out[1]={{y[x]Sin[x],z[x]Cos[x]}}

提示：未知函数总是有自变量。等号是通过连续键入两个等号来表示的。这两点会因为不习惯而出错！导数符号是键盘上的撇号，两个连续的撇号代表二阶导数。

Tip: 未知函数总是有自变量，等号通过连续输入两个等号来表示。这两点会因为不习惯而犯错误！导数符号使用键盘上的撇号，两个连续的素数代表二阶导数。

答复：

提示：式中C[1]为通解中的任意常数。

Hint: 式中C[1]为通解中的任意常数。

常微分方程(组)的数值解Numerical solutions of ordinary differential equations (sets)

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NDSolve[eqns,{y1,y2,…},{x,xmin,xmax}]

求常微分方程（组）的近似解

（求常微分方程（群）的近似解。

微分方程的表示和初值条件与DSolve 相同。未知函数仍然有两种形式：有自变量和无自变量。通常使用后一种更方便。可以在区间[xmin,xmax]上的任意点取初值点x0，得到插值函数InterpolatingFunction[domain, table]类型的近似解。近似解的域一般是[域，表]，也可以缩小。

微分方程的表达式和初值条件与DSolve相同。未知函数仍然有带自变量和不带自变量两种形式。通常使用后者更方便。可以在区间[xmin,xmax] 上的任意点取初值点x0，得到插值函数InterpolatingFunction[domain,table] 类型的近似解。近似解的域一般为[domain,table]，也可以缩小。

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情况1：求常微分方程y’=x^2 + y^2的数值解，满足初始条件y(0)=0。

案例1: 求常微分方程y'=x^2 + y^2 的数值解，满足初始条件y(0)=0。

答复：

In[1]：=s1=NDSolve[{y’[x]==x^2+y[x]^2,y[0]==0},y,{x,-2,2}]

Out[1]={{yInterpolatingFunction[{{-2.2.}}, ]}}

提示：Out[1]表示返回的解放是在表中，使用不方便。实际的解决方案是插值函数：InterpolatingFunction[{{-2.2.}}, ]。

Tip: Out[1]表示返回的解放是在表中，使用不方便。实际的解是插值函数： InterpolatingFunction[{{-2.2.}}, ]。

在[2]中：=y=y/. s1[[1]]

Out[2]=InterpolatingFunction[{{-2.2.}}, ]

In[3]：=Plot[y[x],{x,-2,2},AspectRatio自动，PlotRange{-1.5,1.5}]

输出[3]=-图形-

提示：In[2]的结果是用y代表解函数的名称，因此In[3]可以平滑地绘制解曲线。

Tip: In[2]的结果是用y代表解函数的名称，因此In[3]可以平滑地绘制解曲线。

答复：

In[1]：=s1=NDSolve[{x'[t]==y[t] -(x[t]^3/3 - x[t]),y'[t]==- x[t ],x[0]==0,y[0]==1},{x,y},{t,-15,15}]

Out[1]={{xInterpolatingFunction[{{-15.15.}}, ], yInterpolatingFunction[{{-15.15.}}, ]}}

在[2]中：=x=x/. s1[[1,1]]

在[3]:=y=y/。 s1[[1,2]]

Out[2]=InterpolatingFunction[{{-15.15.}}, ]

Out[3]=InterpolatingFunction[{{-15.15.}}, ]

In[4]：=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,-15,15},

纵横比自动]

输出[3]=-图形-

拉式变换Pull transform

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情况1：求函数t^4 和e^t sint 的拉普拉斯变换。求函数t^4 和e^tsint 的拉普拉斯变换。

答复：

级数实验Series experiment

求和与求积

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提示：上例中，第三级数发散，Mathematica给出提示，在无法给出结果时使用输入公式作为输出。

Hint: 上例中，第三级数发散，Mathematica 给出提示，在无法给出结果时使用输入公式作为输出。

将函数展开为幂级数Expand the function to a power series

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将y=arcsinx 展开为幂级数，仅取前9 项并丢弃其余项。将y=arcsinx 展开为幂级数，仅取前9 项并删除其余项。

答复：

傅里叶级数Fourier series

傅里叶系数是积分表达式，因此可以使用积分函数Integrate来实现。

傅里叶系数是积分表达式，因此可以使用积分函数Integrate来实现。

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下周见！