本科生高等数学知识点总结

常用知识点：

1.常用函数的定义域总结如下：

y,kx,b(1) 通用形式域：x?R 2y,ax,bx,c

k(2)小数形式的定义域为：x?0 y,x

(3) 根式表达式的形式域为：x?0 y,x

(4) 对数形式的定义域为：x,0 y,logxa

2. 函数的性质

1. 函数的单调性

此时，f(x)始终存在，并且在其所在区间内不断增大。 x,xf(x),f(x)x，x121212

此时，f(x)始终存在，并且在其所在区间内不断减小。 x,xf(x),f(x)x, x1212122, 函数奇偶校验

y, f (x) Dx, D, x, D 定义： 假设函数的定义区间关于坐标原点对称（即if, then 有）

f(x)f(,x),f(x),x,D(1) 即使函数—— 也始终存在。

f(x)f(,x),f(x),x,D(2) 奇函数——，始终存在。 3. 基本初等函数

(,)y,c1，常数函数：定义域为，图形是一条平行于轴的直线。 x

uy,x2，幂函数：（是常数）。其定义范围因国家而异。图形经过原点。 uu3，指数函数

x 定义为：（是常数和a,0,a,1）。图形经过(0,1) 点。 y,f(x),aa

4. 对数函数

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定义：（是常数和，）。图形经过(1,0) 点。 a,0a,1y,f(x),logxaa

5. 三角函数

y,sinx(1) 正弦函数：

D(f),(,)f(D),[,1,1], T,2,

(2)余弦函数： y,cosx

D(f),(,)f(D),[,1,1], T,2,

(3)正切函数： y,tanx

,f(D),(,), T,D(f),{x|x,R,x,(2k,1),k,Z}2(4) 余切函数：y,cotx

D(f),{x|x,R,x,k,k,Z}f(D),(,),吨，

5. 反三角函数

,y,arcsinxD(f),[,1,1](1) 反正弦函数： f(D),[,]22

D(f),[,1,1]f(D),[0,](2) 反余弦函数： y,arccosx

,D(f),(,)(3) 反正切函数： y,arctanx, f(D),(,)22

D(f),(,)f(D),(0,)y,arccotx(4) 反余切函数：

限制

1. 寻找极限的方法

1、替代法

代入法主要利用“初等函数在某一点的极限等于该点的函数值”。因此，遇到最简单的问题时，可以直接

然后代入求解极限。

2.传统的寻找极限的方法

(1) 利用极限的四种算术规则求极限。 (2) 用等价无穷小代入求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。

(4)利用罗比达定律达到极限。

2. 函数极限limu,Alimv,B 的四种算术规则假设，则x,x,

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(1) lim(u,v),limu,limv,A,Bx,x,x,

（2）。 lim(u,v),limu,limv,ABx,x,x,

推理

(a), (是常数)。 lim(C,v),C,limvCx,x,

nn(b) limu,(limu),xx

limuuA,x,(3)lim, ()。 B,0,x,vlimvBx,

nn,1P(x)(4)设为多项式，则P(x),ax,ax,alimP(x),P(x)n001x,x0

假设P(x)P(x)0P(x),Q(x)Q(x),0(5) 都是多项式，然后lim,x,x0Q(x)Q(x)03 等无穷小价格

当，x,0sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~x 时，ln(1,x)~x 常用的等价无穷小替换为：

1x2e,1~x1,cosx~x, 2

这些等价无穷小量的替换应该在更深层次上理解为： 当？ 0, sin? ？其余类似。

4. 两个重要的限制

sinxlim,1 重要极限I.x,0x

罪？ lim,1 可以用下面更直观的结构式来表示：0?

x1,lim1,e 重要极限II。x,x,

？ 1,elim1 其结构可表示为：

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8. 医院法则

'()()fxfx0, "" 型和"" 型不定式与(or) 一起存在。 limlim,A'x,ax,a0,()gx()gx 一变量函数微分

1. 衍生品的定义

y,f(x)，假设函数定义在点的某个邻域内，当自变量递增时（点仍在邻域内），相位xxx,xxx000

, y 应按相应的函数递增。若此时函数增量与自变量增量之比的极限为y,x,0,x,y,f(x,x),f(x)00

f(x,x),f(x),y00,limlim==请注意，问题中的两个符号和可以替换为其他符号。xf(x)x00,x,0,x,0,x,x

2. 导数公式

1.基本初等函数的导数公式

,(C),0(1)C（是常数）

,1,(2)（任意常数） (x),x,

xxxx,(a,0,a,1)(3) 特殊情况(a),alna(e),e

111,(x,0,a,0,a,1)(logx),loge,(lnx),(4)， aaxxlnax

,(sinx),cosx(5)

,(cosx),sinx(6)

1'(tanx),(7) 2cosx

1'(cotx),(8) 2sinx

1'(,1,x,1)(反正弦x),(9) 21,x

1'(arccosx),(,1,x,1)(10) 21,x

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1'(11)(arctanx), 21,x

1'(12)(arccotx), 21,x

2. 四个导数算术公式

,[u(x),v(x)],u(x),v(x)(1)

,[u(x)v(x)],u(x)v(x),u(x)v(x)(2)

,[ku],ku(3)(是常数) k

,u(x)u(x)v(x),u(x)v(x)(4) ,2v(x)v(x),

y,f(u)u,(x)f(u),(x)y,f[,(x)]3。复合函数导数公式： 假设、 和均可微，则复合函数的导数为

dydydu'， f(u).(x),dxdudx

3、衍生品的应用

1. 函数的单调性

'f(x)(a,b) 内部严格单调增加。 f(x),0

'f(x)(a,b) 内部严格单调递减。 f(x),0

2.函数的极值

'f(x) 的点—— 函数的驻点。设置为xf(x),00

''f(x)(1) 如果当，当， 时，为的最大值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

''f(x)(2) 如果当，当， 时，为的最小值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

'(3) 如果两边的符号相同，则不是极值点。 xf(x)f(x)003、曲线的凹凸

''(a,b)y,f(x)，则曲线是内凹的。 f(x),0

''(a,b)y,f(x)，则曲线内凸。 f(x),0

4、曲线拐点

''''y,f(x)f(x),0(1) 当x左右两边符号不同时，点(x,f(x))为曲线的拐点，此时时间。 f(x)0000