积分这个特别烧脑的二次替换法怎么理解？

代换积分法有两种类型。黄已经介绍了第一种代换积分法。这里我们继续用代入法来分析第二种积分方法。

无论是第一种代入法还是第二种代入法，都是基于以下定理：

定理：（代入积分法）假设g(u)定义在[,]上，u=(x)在[a,b]上可微，且(x)，x [ a,b]，并记下f(x)=g((x))'(x)，x[a,b]。

（第一种代入法）若g(u)在[, ]上有原函数G(u)，则f(x)在[a, b]上也有原函数F(x)，且F(x )=G((x))+C，即

f(x)dx=g((x))’(x)dx=g(u)du=G(u)+C=G((x))+C。

（第二种代换积分法）若'(x)0，x[a,b]，则命题1 可逆，即当f(x) 存在[a,b 上的原函数F(x) ] ，g(u) 在[,] 上也有原函数G(u)，且G(u)=F(^(-1)(u))+C，即

g(u)du=g((x))'(x)dx=f(x)dx=F(x)+C=F(^(-1)(u))+C 。

这个定理非常难以理解。我们通常通过实践来理解和掌握它。这里有一个非常烦人的问题。即使你理解并掌握了第一种替代方法，但理解第二种替代方法仍然很困难。即使你通过例子和练习掌握了第二种代入法，当你回过头来理解定理时，你仍然会感到困惑和迷茫。你知道为什么吗？

事实上，x和u在应用的时候和定理上是可以互换的。只要将定理中第二种替换方法中的“x”和“u”全部交换一下，你就应该明白了。老黄已经告诉你的方法是，领悟主要是内在的东西，老黄帮不了你。我们首先证明这个定理的第二代换法部分。

证明：若'(x)0，x[a,b]，则x=^(-1)(u)，且dx/du=1/('(x))，[如果If一个函数的导数非零，那么它的反函数可以微分，并且反函数的导数就是原函数导数的倒数]

dF(^(-1)(u))/du=f(x)/((x))=(g((x))(x))/((x))=g((x))=g(u)。

g(u)du=g((x))'(x)dx=f(x)dx=F(x)+C=F(^(-1)(u))+ C.【代入u=(x)即可得到这个过程和结果】

不管怎样，还是通过例子来学习，更好理解。

示例：求(a^2-x^2)dx (a0)。

它实际上是一个积分公式，限制a0主要是为了避免负数带来的麻烦。如果a=0，问题的性质就改变了。通过观察我们可以发现，在这个根式中，如果可以用1-(sinx)^2=(cosx)^2来改变底数，那就简单多了。去做就对了！

解：设x=asinu，|u|/2，[这个取值范围有两个作用。一是让x单调，这样就会有反函数；二是保证代换函数x的取值范围，即原被积函数的定义域。看，这里的x 和u 与定理中的x 和u 可以互换]

那么u=arcsin(x/a)，(a^2-x^2)=acosu，dx=d(asinu)=acosudu。 【完成这些准备工作将使接下来的过程变得更加容易】

原积分=a^2*(cosu)^2du=a^2/2*(u+sinucosu)+C 【余弦平方的不定积分是常用的积分公式。一定要记住，不然你撕起来很麻烦，而且结果也会不一样】

=a^2/2*(u+sinu(1-(sinu)^2))+C 【将结果写成只包含正弦而不包含余弦的形式，这样当你将u代入x的表达式时，可以直接得到关于x的函数]

=a^2/2*(反正弦(x/a) + x/a* (1-(x/a)^2))+C

=a^2/2*arcsinx/a +x/2 *(a^2-x^2)+C。

练习：求dx/(x^2-a^2) (a0)。 【这也是积分公式】

解：设x=aect,0t/2，则t=arcsec(x/a)，

(x^2-a^2)=atant，dx=d(aect)=aect·tant。

原积分= sectdt=ln |教派+ 坦特| + C1 【正割函数的积分公式也必须记住，否则很难解。这里使用C1是因为后面还会有其他部分添加到这个常量中]

=ln|sect+((sect)^2 t-1)|+C1 【改为只包含正割函数的形式，因为将表达式代入t时，可以直接得到关于x的函数】

=ln|x/a+((x/a)^2-1)|+C1=ln|x/a+1/a*(x^2-a^2)|+C1=ln|x+ (x^2-a^2)|+C。

最后利用商的对数公式，等于对数之差，将后面的-lna合并到C中。