二次方程求根公式 挪威数学家阿贝尔与法国数学家伽罗瓦的传奇人生

尼尔斯·亨里克·阿贝尔

那么他们做了什么样的工作，方程和对称性之间有什么关系？

解方程

最著名的公式之一是二次方程的通解。如果方程写成：

那么通解公式可以告诉我们该方程的解为：

也

不管a,b,c的值是多少，这个公式都会告诉你解是多少，用起来非常方便。

有一个类似但更复杂的公式可以告诉您三次方程的通解，其形式为：

有一些更复杂的方程可以告诉你四次方程的通解，这些方程可以写成：

二次、三次和四次方程的一般解法公式虽然看起来有点复杂，但它们只涉及有限数量的运算：加、减、乘、除、平方根、立方根和四次根。

显然，你的下一个问题是，我们能否找到五次方程的类似通解公式？

更一般地，涉及 x 的高阶项的多项式方程的通解公式是什么样的？

伽罗瓦的肖像是他弟弟于1848年（即伽罗瓦去世16年后）根据记忆绘制的。

我们要的是一个只包含加、减、乘、除和根运算的公式，如果一个方程有这样的通解公式，那么我们说这个方程有根式解。

1824 年阿贝尔证明的结论是，一般的五次方程没有根式解。当然，这并不意味着所有五次方程都没有根式解。例如多项式方程：

有一个解决方案：。

但对于一般的五次方程，确实不存在通用的求根式解的公式。

阿贝尔证明了这个结果，但伽罗瓦花了几年时间才真正意识到为什么五次方程没有根式解。伽罗瓦通常被认为是群论的创始人，群论是研究对称性的数学学科。我们通常认为对称是一种视觉现象：一幅画或图案可能是对称的。但对称和方程有什么关系呢？答案有点微妙，但非常美丽。

不变的对称性

首先二次方程求根公式，让我们思考一下对称的真正含义。我们说正方形是对称的，因为我们可以绕其中心轴旋转 90 度，或绕各种轴反射它，它的外观都不会改变。所以对称意味着没有变化：如果我们对一个物体做了一些事情，而它没有改变，那么它就是对称的。

当我们思考二次方程时，我们可以看到一些对称性。例如，二次方程

有两种解决方案

这个方程有两个离散解，但从某种意义上说，它们非常相似：只需在一个解上加一个负号，就可以得到另一个解。也许交换这两个解不会有什么区别，就像镜像正方形意味着对称一样，交换方程的两个解也可能意味着某种对称。但什么样的对称呢？

添加无理数

蝴蝶具有对称性，方程式也具有对称性！

为了理解这些结果，让我们看一下等式中涉及的数字：

等式的系数为 1 和 -2：均为有理数。但其解为两个无理数：无法转换

和式写为两个整数相除。大多数二次方程都有无理数解，因此仅考虑方程的系数是不够的。

让我们稍微拓宽一下视野。我们不仅要看一组有理数（写为 ），还要看一组新的数，写为 。这组数包括所有可以写为 的数，其中 a 和 b 是有理数。显然，这组新的数包括所有有理数（b=0），还包括前一个二次方程的两个解和 。

新的数字集是自包含的：你可以对其中任意两个进行加、减、乘或除，结果仍会保留在该集合中。在数学中，这被称为域。代数运算下的自包含是域的基本属性。事实上，它是包含所有有理数及其和的最小域。

交换两种解决方案

现在我们回到交换两个解和的思路。在交换所有的和时，我们可以用函数f来表示这个交换操作：

将 f 应用于 中的所有数字不会改变或改变其结构。此外，它不会改变该域中的所有有理数。

显然，f 并不改变场中的有理数，而无理数经过f 的作用后，仍然在。（因为是场中的数，也是场中的数）。

更进一步，将 f 应用于 可保持加、减、乘、除的结构。假设您对 中的两个数字进行加、减、乘、除，得到新数字，然后进行加、减、乘、除，得到 从某种意义上说，函数 f 是方程的对称变换。它不会改变。函数 f 称为域的自同构：它是从 到自身的双射，不会改变 中的数字，并且在代数运算下保持结构。

伽罗瓦群

还有其他 -自同构吗？答案是肯定的，有一个 -自同构，尽管它非常平凡。它使 中的每个数字保持不变。就函数而言，它是： 。 的 -自同构集（即方程的对称集）仅包含两个元素，g 和 f。

事物的对称性集合（无论是图形还是方程式）形成一个群。该系统自足的原因是两个对称变换的组合仍然形成对称变换。在我们的示例中，连续两次将对称变换 f 应用于数字不会改变该数字：

类似地，先应用 f 再应用 g，或先应用 g 再应用 f 的组合形成 f，而 g 和 g 的组合仍为 g。由我们的方程的对称性形成的群包含两个 -自同构 g 和 f，它被称为该方程的伽罗瓦群。

为什么你不能解一般的五次方程？

我们可以对任何其他多项式做类似的事情，例如五次多项式：

a、b、c、d、e、f 都是有理数。同样，我们可以把有理数域展开为包含方程解的最小域。它被称为分裂域

就像我们处理二次方程一样，你可以看看这个分裂域的对称性。它的自同构由不改变域中数字的自同构和不改变域结构的自同构组成，它们构成了伽罗瓦群。

法国纪念伽罗华的邮票

伽罗瓦能够证明的是，一个方程是否有根式解取决于其伽罗瓦群的结构。有时，伽罗瓦群可以分解为与求 n 次方根相关的较小分量。如果是这样，那么该方程就有根式解。

然而，如果不能以正确的方式将其分解为更小的部分，如果不能分离对称性，那么就无法找到仅涉及加、减、乘、除和根的通解，在这种情况下，该方程没有根解。

我们可以证明五次方程不能以适当的方式分解。因此，五次方程没有根式通解。涉及 x 更高次幂的多项式方程也是如此：它们没有根式通解。使用群论研究方程解的学科称为伽罗瓦理论，以其发明者命名。