自然数 新课标人教 B 版数学教材集合：元素与集合的关系

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当我们把一些可识别、不同的对象放在一起时，我们说这些对象组成一个集合（有时简称为集合），组成集合的每个对象都是集合的一个元素。

集合通常用大写字母A，B，C，......表示，集合的元素通常用小写字母a，b，c，......表示

如果a是集合A的一个元素，写为a∈A，读作“a属于A”。

如果a不是集合A的元素，则写为a∉A，表示“a不属于A”。

例如，

A班有三名学生：a、b、c；

B班有三名学生，分别是D，E，F。

我们可以将学生a，b，c理解为集合A中的元素，将学生d自然数，e，f理解为集合B中的元素。

可以写成a,b,c∈A；a,b,c∉B

d,e,f∈B，d,e,f∉A。

一般而言，不包含任何元素的集合称为空集，用∅表示。

例如，设 x²=-1，求 x 的所有实数解的集合。由于该方程没有实数解，所以该集合为空。

根据集合的概念，集合的元素具有以下特征：

（1）确定性：集合的元素一定是确定的。

例如，“接近于 1 的数”不能是元素，但“大于 0.8 且小于 1.2 的数”可以是元素。

因此，需要依据主观感受而衍生的客体不能成为要素。

（2）互差：对于给定的集合，集合内的元素必定不同。

例如一个单词中所有英文字母的集合只包含四个元素，即s,u,s,e

（3）无序性：集合中所有元素可以任意排列。

例如，x(x-1)=0 的所有实数解的集合可以写成 {0, 1} 或 {1, 0}。

给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为A=B。

根据集合所含元素的数量，集合可以分为两类：

具有有限个元素的集合称为有限集，具有无限个元素的集合称为无限集。

空集可以看作含有0个元素的集合，因此空集是有限集。

几种常见的数集：

自然数集：所有非负整数的集合，用N表示

正整数集：自然数N去掉0元素后的集合，记为N*或N+（*在右上角，+在右下角）

整数集：所有整数的集合，用 Z 表示

有理数集：所有有理数的集合，用 Q 表示

实数集：所有实数的集合，用 R 表示

枚举

把集合中的元素逐一列出（相邻元素用逗号分隔）并写在花括号内来表达集合的方法称为枚举。

例如，由两个元素 0 和 1 组成的集合可以用枚举表示为 {0, 1}

枚举集合时，一般不考虑元素的顺序。

例如，{1, 2} 和​​ {2, 1} 表示同一个集合。

但如果一个集合的元素较多，且能按照一定的模式排列，那么为了避免误解，可以按照模式列出少数元素作为代表，其他元素可以用省略号来表示。

例如，不大于 100 的自然数集可以表示为 {0, 1, 2, 3, ..., 100}

无限集有时也可以用枚举来表示。

例如，自然数集N可以表示为{0，1，2，3，...，n，...}

值得注意的是，只有一个元素{a}的集合也是一个集合。这个集合应该与其元素a区分开来。事实上，a∈{a}

描述方法

一般而言，若任何属于集合A的元素x都具有属性p(x)，且任何不属于集合A的元素都不具有该属性，则属性p(x)称为集合A的一个特征属性。

此时，集合A可以用其特征性质p(x)表示为

{x|p(x)}。

区间及其表示

习惯上，若a[a, b]，则称其为闭区间。

例如，集合 {x|1≤x≤2} 可以简写为闭区间 [1, 2]

类似地，如果a（a，b），那么它被称为开区间。

若a(a, b]，则称其为半开半闭区间。

在上面的区间中，a、b分别称为区间的左端点和右端点，ba称为区间的长度。

间隔可以用数轴直观地表示

例：如图所示，区间-2＜x≤3用数轴表示

-2＜x≤3

如果用“+1∞”表示“正无穷”，那么用“-1∞”表示“负无穷”

则：实数集R可以表示为区间(-∞,+∞)