（知识点）一元一次方程根的情况，你了解多少？

1、一变量线性方程求根的情况

△=b2-4ac

当△>0时，二次方程有两个不相等的实根；

当△=0时，二次方程有两个相同的实根；

当△

2. 平行四边形的性质：

① 两组对边平行的四边形称为平行四边形。

②连接平行四边形两个不相邻顶点的线段称为它的对角线。

③ 平行四边形的对边/对角相等。

④平行四边形的对角线互相平分。

菱形：①相邻边相等的平行四边形的集合是菱形

②领子的四条边相等，两条对角线相互垂直平分，每组对角线平分一组对角。

③判断条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四边相等的四边形。

长方形和正方形：

① 内角为直角的平行四边形称为矩形。

②长方形的对角线相等，四个角都是直角。

③ 对角线相等的平行四边形是矩形。

④ 正方形具有平行四边形、长方形、菱形的所有性质。

⑤相邻边相等的长方形的集合是正方形。

多边形：

①N边多边形的内角和等于(N-2)180度

②多边形内角的一侧与另一侧的反向延长线所成的角称为多边形的外角。 取多边形每个顶点的外角，它们的和称为多边形的内角和（两者都等于360度）

平均值：对于N个数X1,X2...XN，我们称(X1+X2+...+XN)/N为N个数的算术平均值扇形面积公式，记为X

加权平均：一组数据中每个数据的重要性可能不相同。 因此，在计算这组数据的平均值时，往往会给每一个数据加上一个权重。 这是加权平均值。

基本定理

1.通过两点只有一条直线

2、两点之间最短线段

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的补角相等

5. 存在且只有一条与已知过一点的直线垂直的直线。

6、连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。

7. 平行公理指出，经过直线外一点，只有一条直线与该直线平行。

8. 如果两条直线与第三条直线平行，则这两条直线也彼此平行。

9、平行角相等，两条直线平行。

10、内角相等且两条直线平行

11、同边的内角互补，两条直线平行。

12、两条直线平行且角度相等。

13、两条直线平行且内偏角相等。

14、两条直线平行，同边内角互补。

15.定理三角形两条边之和大于第三条边

16.推断三角形两条边之差小于第三条边

17. 三角形内角和定理 三角形的三个内角和等于180°

18. 推论1 直角三角形的两个锐角互补

19.推论2 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。

20. 推论 3 三角形的一个外角大于任何不与其相邻的内角。

21.全等三角形的对应边和对应角相等

22. 边-角-边公理（SAS） 两个三角形的两条边相等，它们对应的角全等。

23. 角边角公理（ASA）是指两个三角形的两个角相等且它们的包边相等。

24. 推论（AAS） 如果两个三角形有两个角并且其中一个角的对边相等，则两个三角形全等。

25. 边边公理（SSS） 具有三个相应相等边的两个三角形全等。

26. 斜边和直角边公理（HL） 两个具有斜边和直角边的直​​角三角形全等。

27. 定理1 角平分线上的一点到角两边的距离相等

28. 定理2 到角两边距离相等的点位于角的平分线上。

29. 角的平分线是与角两边等距的所有点的集合。

30.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边等于等角）

31. 推论1 等腰三角形顶角平分线平分底边且垂直于底边。

32、等腰三角形的顶角平分线、底边中线和底边高互相重合。

33. 推论3 等边三角形的所有角都相等，且每个角等于60°

34.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个相等的角，则这两个角的对边也相等（等边角相等）

35. 推论1 三个等角的三角形是等边三角形。

36.推论2 一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

37. 在直角三角形中，如果锐角等于30°，那么它的对边直角边等于斜边的一半。

38.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

39、定理：线段垂直平分线上的一点到线段两个端点的距离相等。

40、逆定理和线段两个端点等距的点在线段的垂直平分线上。

41. 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点等距的所有点的集合。

42. 定理1 绕某直线对称的两个图形是全等形状。

43. 定理2 如果两个图形关于直线对称，则对称轴是连接对应点的线的垂直平分线。

44.定理3 两个图形关于直线对称。 如果它们对应的线段或延长线相交，则交点位于对称轴上。

45. 逆定理 如果连接两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，则两个图形关于该直线对称。

46.勾股定理：直角三角形的两条直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47.勾股定理的逆命题。 如果三角形的三边a、b、c的长度与a2+b2=c2有关，则该三角形是直角三角形。

48.定理四边形的内角和等于360°

49.四边形的外角和等于360°

50. 多边形内角和定理n边多边形的内角和等于(n-2)×180°

51.推断任意多边形的外角和等于360°

52. 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53. 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54.推断夹在两条平行线之间的平行线段相等

55. 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。

56. 平行四边形判定定理1 两个对角相等的四边形是平行四边形。

57. 平行四边形判定定理2 两组对边相等的四边形是平行四边形。

58. 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

59. 平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

60. 矩形定理的性质1 矩形的四个角都是直角

61.矩形定理2的性质：矩形的对角线相等

62. 矩形判定定理1 三个直角的四边形是矩形

63. 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64. 菱形性质定理1 菱形的四个边相等

65.菱形性质定理2 菱形的对角线相互垂直，并且每条对角线平分一组对角线。

66、菱形的面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

67. 菱形确定定理1 四边相等的四边形是菱形。

68. 菱形确定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

69. 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边相等。

70. 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分。 每条对角线平分一组对角线。

71. 定理1 绕中心对称的两个图形全等。

72. 定理2 对于两个中心对称图形，连接对称点的直线经过对称中心并被对称中心平分。

73. 逆定理 如果连接两个图形对应点的直线经过某一点并被该点平分，则这两个图形关于该点对称。

74、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的同底两个角相等。

75. 等腰梯形的两条对角线相等

76. 等腰梯形确定定理 同底上有两个相等角的梯形是等腰梯形。

77.对角线相等的梯形是等腰梯形。

78、平行线平分线定理：如果一条直线上一组平行线所截的线段相等，则其他直线所截的线段也相等。

79. 推论1 穿过梯形一个腰部中点并与底平行的直线将平分另一个腰部。

80. 推论 2 通过三角形一条边的中点并平行于另一条边的直线必须平分第三条边。

81.三角形中线定理：三角形的中线平行于第三条边并等于它的一半。

82.梯形的中线定理 梯形的中线平行于两个底边，等于两个底边之和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h

83. (1)比例的基本性质：

如果a:b=c:d，则ad=bc

若ad=bc，则a:b=c:d

84. (2) 比较特性：

若a/b=c/d，则(a±b)/b=(c±d)/d

85. (3) 比例性质：

若a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，

那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86.平行线段比例定理。 如果三条平行线切割两条直线，所得到的相应线段将成比例。

87、推论，如果平行于三角形一条边的直线与另外两条边（或两边的延长线）相切，所得到的相应线段将成比例。

88、定理：如果一条直线截了三角形的两条边（或两条边的延长线）且对应的线段成比例，则该直线平行于三角形的第三条边。

89、对于平行于三角形的一条边并与另外两条边相交的直线，截取的三角形的三边与原三角形的三边成比例。

90、定理：如果平行于三角形一侧的直线与另外两条边（或两侧的延长线）相交，所形成的三角形与原三角形相似。

91.相似三角形判定定理1：两个角相等且两个三角形相似（ASA）

92、两个直角三角形除以斜边高与原三角形相似。

93.判定定理2：两个对应的三角形成比例且角度相等，则它们相似（SAS）

94.判定定理3：三边成比例且两个三角形相似（SSS）

95. 定理：如果一个直角三角形的斜边和右侧与另一个直角三角形的斜边和右侧成比例，则这两个直角三角形相似

96.性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

97.性质定理2 相似三角形周长之比等于相似比

98.性质定理3 相似三角形面积之比等于相似比的平方

99. 任何锐角的正弦值都等于其余角的余弦值。 任何锐角的余弦值都等于其余角的正弦值。

100. 任何锐角的正切值都等于其补角的余切值。 任何锐角的余切值都等于其补角的正切值。

101. 圆是距固定点的距离等于固定长度的点的集合。

102. 圆的内部可以看作距圆心的距离小于半径的点的集合。

103. 圆的外侧可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

104.同圆或等圆的半径相等

105、到定点距离等于定长的点的轨迹是以该定点为圆心、定长为半径的圆。

106、距已知线段两个端点等距的点的轨迹是该线段的垂直平分线。

107. 与已知角度两侧等距的点的轨迹是该角度的平分线。

108. 与两条平行线等距的点的轨迹是与两条平行线平行且等距的直线。

109.定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

110. 垂直直径定理：垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。

111.推论1

①平分弦的直径（不是直径）垂直于弦并平分弦所对的两条圆弧。

②弦的垂直平分线穿过圆心并平分弦所对的两条圆弧。

③ 平分弦所对的一个圆弧的直径，垂直平分该弦，再平分该弦所对的另一条圆弧的直径。

112. 推论2 圆的两条平行弦所包含的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

114.定理：在全等圆或等圆中，等圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，并且所对的弦的弦心距也相等。

115、推论：在全等圆或等圆中，如果两个圆心角、两条圆弧、两个弦或两个弦的弦心距中的一组量相等，则与它们对应的其他组量也相等。

116.定理：圆弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半。

117. 推论1 同圆弧或相等圆弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆内等周角所对的弧也相等。

118. 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°圆周角所对的弦就是直径。

119. 推论3 如果三角形一侧的中线等于该边的一半，则该三角形是直角三角形

120.定理：圆内切四边形的对角互补，任意外角都等于其内对角。

121. ① 线 L 与 ⊙O 相交 d﹤r

②直线L与⊙O相切 d=r

③直线L与⊙O相隔d﹥r

122.切线确定定理：穿过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。

123. 切线定理的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

124. 推论1 通过圆心并垂直于切线的直线一定通过切点

125. 推论2 经过切点并垂直于切线的直线一定经过圆心

126. 切线长度定理：圆的两条切线从圆外一点引出。 它们的切线长度相等。 连接圆心和该点的线平分两条切线之间的角度。

127. 圆的外接四边形的两条对边之和相等。

128、弦切角定理：弦切角等于它所包含的圆弧对的圆周角。

129. 推论 如果两个弦切角所包含的弧相等，则两个弦切角也相等。

130、相交弦定理：对于圆中的两条相交弦，两条线段的长度除以交点的乘积相等。

131. 推论 如果弦与直径垂直相交，则弦的一半就是它所划分的两条线段与直径之比的中项。

132. 圆的切线和割线是从圆外一点画的。 切线的长度是从该点到割线与圆的交点的两条线段的长度之比的中项。

133、由此推知，从该点到每条割线与圆交点的两条线段长度的乘积相等。

134. 如果两个圆相切，则切点必须在连接圆心的线上。

135. ①两圆之间的距离为d﹥R+r

②两圆外接d=R+r

③两圆相交Rr﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内接 d=Rr(R﹥r)

⑤两个圆包含d﹤Rr(R﹥r)

136. 定理 连接两个相交圆的中心的线垂直平分两个圆的公共弦。

137. 定理将圆分为n份（n≥3）：

⑴将点依次连接得到的多边形是该圆的内接正n边形。

⑵ 通过每个点绘制圆的切线。 以相邻切线的交点为顶点的多边形是与圆外接的正n边形。

138.定理：任何正多边形都有外接圆和内切圆。 这两个圆是同心圆。

139.正n边多边形的每个内角等于(n-2)×180°/n

140.定理：正n边多边形的半径和中心距将该正n边多边形分成2n个全等的直角三角形。

141.正n边形的面积为Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长。

142、等边三角形的面积是√3a/4 a表示边长。

143. 如果一个正n边多边形围绕一个顶点有k个角，由于这些角的和应为360°，则k×(n-2)180°/n=360°变为(n-2) ( k-2)=4

144、弧长计算公式：L=n兀R／180

145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146. 内公切线长度 = d-(Rr) 外公切线长度 = d-(R+r)

常用数学公式

公式分类 公式表达

乘法和因式分解 a2-b2=(a+b)(ab)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(ab(a2+ab+b2)

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a 注：吠陀定理

某个序列的前 n 项之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3​​+5+7+9+11+13+15+…+(2n -1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：R表示三角形外接圆的半径

余弦定理 b2=a2+c2-

注：B角为a边与c边的夹角

初中几何常用辅助线技巧大全

图中有角平分线，两边可以画垂直线。

也可以将图片对折，看看对称后的关系。

角平分线是平行线，加上等腰三角形。

尝试添加角平分线和垂线，将三条线合并为一条。

线段垂直平分一条线，并且通常将线的两端连接起来。

为了证明线段加倍和减半，可以测试延长和缩短。

三角形中的两个中点相连形成中线。

三角形有中线、延长中线和其他中线。

出现一个平行四边形，其对称中心平分该点。

在梯形内画一条高线，并尝试将其平移一个腰部。

平行移动对角线形成三角形是常见的。

为了证明相似性，比较线段，添加平行线成为一种习惯。

将等积公式转换为比例时，找到线段非常重要。

直接证明比较困难，但是用等量代入就比较麻烦了。

在斜边上画一条高线，并在刻度的中间画一个大区域。

计算半径和弦长，弦中心距到中站。

如果圆上有切线，则切点连接到圆心和半径。

要计算切线长度，毕达哥拉斯定理是最方便的。

为了证明它是切线，请仔细识别半径垂直线。

是直径，呈半圆形式，可以将其视为与弦相连的直角直径。

圆弧有一个中点连接到圆心，垂直直径定理必须完全记住。

圆的角边上有两条弦，直径与弦的端部相连。

与角相切的弦、与弦的切线以及与对角的弧都可以找到。

要制作外接圆，请在每条边上画一条垂直线。

我们还需要做一个内切圆，内角平分线就是正圆。

如果遇到相交的圆，别忘了做一个共同的和弦。

对于内外相切的两个圆，公切线通过切点。

如果添加连接线，切点肯定会在其上。

等角加圆，证明问题就不那么困难了。

辅助线是虚线。 画的时候注意不要改。

如果图形分散，请尝试对称旋转。

基础绘画非常重要，需要熟练掌握才能掌握。