初中数学：配方法来推导一元二次方程求根公式的推导方法

二次方程求根公式是初中数学中的一个重要公式。 现行义务教育初中数学教材均采用匹配法推导二次方程求根公式。 本文受到三次方程和​​四次方程根公式的推导方法的启发，进而将其应用到二次方程中。 得到了另外两种推导二次方程根公式的方法。 其中，元素替换的方法似乎比匹配的方法更简单、更容易理解。 现在我将这两种新方法介绍给大家，作为制备方法的补充，供大家参考。

1 代换法

对于二次方程的一般形式：

因为我们订购

但

当时有：

这为我们提供了一个变量的二次方程的根公式：

通过改变元素(let)，我们发现的线性项消失了，从而将二次方程的一般形式转化为(where)的形式。 这种变换称为基恩豪森变换。

基恩豪森是德国代数学家。 对于前 1 次 n 次一般多项式方程

通过的变量代入，然后利用二项式定理展开，可以消去各项，从而得到第一个n次简化方程。

2 根和系数法

说到根和系数的关系，大家立刻就会想到Veda。 是的，根和系数之间的关系也称为韦达定理。 吠陀定理说：如果一个方程有两个实根，那么。

北京师范大学版九年级第一卷数学教材中，首先给出了根公式，然后推导出根与系数之间的关系。 其实我们可以先用其他方法推导根与系数的关系，然后利用根与系数的关系推导根公式。 这个方法是由法国数学家范德蒙德发现的。假设一个二次方程的两个根是，那么

展开右侧

从而

比较两边的系数可得：

现在

你看，我们没有使用根公式就导出了根和系数之间的关系。 让我们看一下如何使用它来推导求一个变量的二次方程的根的公式。

因为

和

如果那么

代入(*)式，可得根式

范德蒙德对方程解的见解是用方程的所有根来表达方程的每一个根，使其成为根的对称表达式。 这个对称表达式可以利用吠陀定理用方程的系数来表示，从而得到求根公式。 利用这个思想，我们可以推导出三次方程和​​四次方程的根公式一元二次方程公式法，但过程要复杂得多。

参考

[1] 结城宏. 数学女孩5：伽罗瓦理论。 陈光贵译. 北京：人民邮电出版社，2021。

[2] 冯承天. 从一变量的线性方程到伽罗瓦理论（第二版）。 上海：华东师范大学出版社，2019。