考研正余弦、正余切转化中，有句口诀“奇变偶不变、符号看象限”

1. 正弦和余弦变换

首先我们看一下正弦和余弦在各个象限的正负情况，如下图1所示。

图1.sinx和cosx在各象限的正负号示意图。

图1中，左图代表sinx，右图代表cosx。 首先我们来看看坐标轴上的数字是怎么来的！ 当x轴正向逆时针旋转90度时，与y轴正向重合。 当它旋转180度时奇变偶不变 符号看象限，它与负x轴重合。 当它旋转 270 度时，它与负 y 轴重合…………轴上的数字来自于此。

对于正弦函数sinx，当x位于第一象限和第二象限时为正； 当x位于第三和第四象限时，它是负值。 对于余弦函数，当x位于第一、第四象限时，为正； 当x位于第二象限和第三象限时，它是负值。

我们先看一下标准形式：

“奇偶不变性”是指如果参数k为奇数，则正弦变为余弦，余弦变为正弦； 如果 k 是偶数，则保持与原始公式相同的正弦和余弦性质。 “按符号看象限”的意思是：假设x是锐角，如果原公式为负数，则必须在最后转换后的公式前面加负号； 如果是正数，则最后转换的公式前面不需要加符号。

以sin(3π+x)和cos(5/2π-x)为例进行说明。

我们先来看看 sin(3Π+x)。 首先将sin(3Π+x)转化为标准公式，如下所示：

k为偶数，按照“奇变偶不变”原则第一次转换的结果为sinx； 当x为锐角时，3Π+x落入第三象限，此时原公式sin(3Π+x)为负数，根据“以符号看象限”的原则，必须在最后的变换公式在前面，所以最终的结果是-sinx。

对于cos(5/2Π-x)，k=5为奇数，按照“奇数转偶数不变”原则第一次转换的结果为cosx； 当x为锐角时，5/2Π-x落在第一象限，此时cos(5/2Π-x)为正。 根据“凭符号看象限”的原则，最终的变换公式前面不需要加符号，所以最终的结果就是cosx。

2.余切变换

下图2显示了各象限中正切和余切的正负情况。 左图为正切函数 tanx，右图为余切函数 cotx。

图2 tanx和cotx在各象限的正负号示意图。

余切的变换也遵循“奇数变偶不变，符号取决于象限”的原则。 根据原理，大家可以自己尝试一下，简化一下以下两个函数：