质数素数2设p能整除1-P+1和P

证明 设数P = p1···pk 为所有素数的乘积，并考虑数P + 1。如果P + 1 是素数，则定理得证。 因此，假设 P+1 不是素数。 那么 P + 1 可以被某个更小的素数 p 整除。 如果 p 属于现有素数，则 p 可被 P + 1 和 P 整除。

对于任意三个整数a、b、c，如果a能整除b且a能整除c，则a也能整除b - c。

（设b=am，c=an（其中m和n是整数），则bc=am-an=a(mn)。由于mn也是整数，因此a可以整除bc。）

那么p也必须能被P+1-P整除，即p能被1整除。既然这是不可能的，所以p不属于现有的素数。

定理2 假设p是素数，a和b是两个正整数，并且p>a，p>b。 然后p+ab。

证明根据整除性的定义，如果一个整数a能被p整除，那么一定存在一个整数m使得a=pm。 因此，我们可以将ab表示为a×b。 但：

这很简单。 因为a不能用pm表示，b不能用pn表示，所以ab不能用pk的形式表示。

例如，假设p=7，a=4，b=5，则p不能被ab整除，即7不能被20整除，7 ÷ 20。

定理3 假设p是素数，a、b是两个正整数。 如果 p|ab，则 p|a 或 p|b。

证明 假设 p bu a 和 p bu b。 然后取 a 和 b 模 p 的最小正余数 c、d。 我们知道c和d都是小于p的正整数。 而此时就有p|cd。 这与前面的定理相矛盾。

定理4 设p 为素数。 如果p|a1···an素数的概念，则存在i使得p|ai。

只需用归纳法证明即可。 由 p|(a1 · · · an−1)an 可知 p|(a1 · · · an−1) 或 p|an。

等等。