2020年10月20日修改：正弦函数

欧拉公式

\ e^{\ ix}=\cos x+\ i \sin x

三角公式中的每一项都是正弦函数，为了抵消余弦，用奇偶校验来求解

\sin x=\frac{\ e^{\ ix}-\ e^{-\ ix}}{2\ i}

代入，从降幂公式入手非常方便。 （之前的版本使用左减右，使项数增加了一倍）

\sin^3x=\left(\frac{\ e^{\ ix}-\ e^{-\ ix}}{2\ i}\right)^3

=\frac{ \ e^{3\ ix} -3\ e^{\ ix} +3\ e^{-\ ix} -\ e^{-3\ ix}}{(2\ i)^3 }

=-\frac 14\left(\frac{ \ e^{3\ ix} -\ e^{3\ ix} }{2\ i}-\frac{ 3\ e^{\ ix} -3\ e ^{\ ix} }{2\ i}\右)

=\frac{\sin 3x-3\sin x}{-4}

从这个幂折算公式中，我们可以简单地移动项倍角公式，得到三角公式的典型形式：

\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\\

该证明将三角公式纳入二项式定理的框架中，并且作为递减幂公式非常容易记住。

正弦函数的复指数表示是两项之差除以 2\i。 两项，因此根据二项式定理，正弦值的立方可以展开为1-3-3-1结构：外侧两项正好是角度的三倍，而内侧两项正好是角度的一倍。 这样，三倍角度项的系数为1，一倍角度项的系数为3，产生了差异。 -4 是从复指数表示中两项的公分母 2\i 的平方导出的，以传达三次项和线性项。 （之前版本的错误是-4没有负号）