答：解决这个问题有两种方法：一种是硬着头皮解微分方程，插值，得到答案；另一种是硬着头皮解微分方程，插值，得到答案；另一种是利用一些已知的轨道知识。

没有太阳角动量的物体的运动方程为：

r''=-GM/r^2

（G为万有引力常数，M为太阳质量，r为物体与太阳的距离）

r’’表示r在时间上求导两次，第一次求导为：

r'=-sqrt(2GM)*sqrt(1/r-1/R)

R是距太阳的初始距离，这里指的是地球和太阳之间的距离。

第二次推导有点棘手，但仍然可以完成并得出以下等式：

r*R*sqrt(1/r-1/R)+R^3/2 arctan(sqrt(R/r-1))=sqrt(2GM)*t

t 表示物体开始移动距离R 的时间。现在我们要找到r 变为0 的时间。这实际上比看起来更简单。当参数的反正切值接近无穷大时，公式左边的第一项消失，无穷大的反正切值为/2。从这些信息中，我们最终可以得到：

t=sqrt(^2*R^3/(8*G*M))

忽略太阳的运动和质量，计算出的t是落入太阳的时间吗？

现在我们如何看待这个结果呢？地球绕太阳公转的周期为：

T=sqrt(4*^2*R^3/(G*M))

也就是一年，比较两者，我们可以发现：

t=T/(4*sqrt(2))

大约64天12小时，也就是两个多月一点的时间，我们就可以告别这个残酷的世界了，不过结束的过程可能会相当火热。

现在，让我们讨论使用一点数学和更多物理知识来解决这个问题的另一种方法。

我们知道，任何轨道都是椭圆形的，其运行周期主要由半长轴决定，而太阳处于这种椭圆轨道的焦点处。

我们可以把这个问题看成是一个轨道是极椭圆的问题。将焦点放在一端，物体开始在另一端移动。所以，我们需要计算的是轨道周期的一半，如果我们遵循这个论点，半长轴就是R的一半。

那么表达式就是：

t=(1/2)*sqrt(4*^2*(R/2)^3/(GM))

可以简化为：

t=(^2 * R 3/(8 * G * M) )

与之前发现的表达式相同。

另请注意，小行星的质量不包括在获得的方程中。只要碰撞后地球的质量与太阳的质量相比足够小，否则我们就必须在推导中考虑太阳的运动。 （这可以通过减少质量来解决，但那是另一个故事了。）

你所设想的小行星的动量需要与地球质量乘以其轨道速度相同，但方向相反。另一个以每秒18 英里的速度运行的地球大小的物体，质量较低或速度较高的物体也可以，但你可以很容易想象任何此类碰撞都会完全摧毁这两个物体，地球只会留下很少的碎片落入太阳。

相关天文小知识-小行星

小行星（希腊语：，英语：Asteroid）是一种小型太阳系天体（SSSB）。它像太阳系中的行星一样围绕太阳运行，但其体积和质量却比行星小得多。广义小行星的大小介于流星体和矮行星之间，直径从几米到1000公里不等，包括太阳系中除彗星以外的所有小天体。然而，大多数小行星分布在内太阳系。此外，外太阳系中的小天体（例如半人马座和跨海王星天体）的物理特性与内太阳系中的小天体不同。因此，“小行星”一词更为常用。用于特指内太阳系中非彗星的小天体。

参考资料

1.王家百科

2. 天文学术语