导数真的是初等数学无法跨越的门槛吗？让人吐血的作品！最全衍生品硬科普！

xunaa

2024-10-03 21:02:05

编辑说

函数y=f(x)在x=x0点的导数是指函数图像在x0点的切线的斜率k，记为k=y(x0)=f(x0)。
那么我们如何求这条切线的斜率呢？我们首先在函数图像上取两点
P0(x0,y0) 和P(x0+x,y0+y)
这

函数y=f(x)在x=x0点的导数是指函数图像在x0点的切线的斜率k，记为k=y(x0)=f(x0)。

那么我们如何求这条切线的斜率呢？我们首先在函数图像上取两点

P0(x0,y0) 和P(x0+x,y0+y)

这里y0=f(x0)，y0+y=f(x0+x)

y=f(x0+x)-y0=f(x0+x)-f(x0)

连接直线P0P，其中P0P 是函数图像的割线。当x0、x0+xx0时，点P逐渐逼近P0点，割线P0P逼近经过点P0的切线，且割线P0P的斜率也逼近这条切线。的斜率.这个过程的极限值是函数在x0点的导数。

割线P0P 的斜率等于

[(y0+y)-y0]/[(x0+y)-x0]

=y/x

通过点P0 的切线的斜率

k=y(x0)=f(x0)

=lim(y/x)，x0

=lim{[f(x0+x)-f(x0)]/x}

由函数y=f(x)域内各点的导数组成的函数称为该函数的导函数，记为y=f(x)。

y=y(x)=f(x)=lim(y/x)

=lim{[f(x+x)-f(x)]/x}，x0

我们将自变量x的增量x表示为dx，称为自变量的微分；因变量y的增量y表示为dy，称为因变量的微分。那么导函数可以表示为：

y=y(x)=f(x)=dy/dx, dy=f(x)dx

我们先求幂函数的导数

对于nN*，x0

(x^n)=lim{[(x+x)^n-x^n]/x}

根据二项式定理：

(a+b)^n=[C(n,r)a^(n-r)b^r]r=0, 1, 2,…,n

(x+x)^n-x^n

=[x^n+nx^(n-1)x+C(n,2)x^(n-2)(x)^2+…+(x)^n]-x^n

=nx^(n-1)x+C(n,2)x^(n-2)(x)^2+…+(x)^n

(x^n)=lim{[(x+x)^n-x^n]/x}

=lim{[nx^(n-1)x+C(n,2)x^(n-2)(x)^2+…+(x)^n]/x}

=lim[nx^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)(x)+…+(x)^(n-1)], x0

=nx^(n-1)+0+…+0=nx^(n-1)

(x^n)=nx^(n-1)，nN*

也可以写成：y=x^n

y=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1)

dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx

使用稍后将显示的内容

(e^x)=e^x，[ln(x)]=1/x

我们还可以将上述结论中的正整数n推广到任意实数。

根据对数恒等式

x=e^(lnx)

x^=[e^(lnx)]^=e^(lnx)

(x^)=[e^(lnx)]=e^(lnx)(lnx)

=x^(lnx)

=x^(1/x)=x^(-1)

(x^)=x^(-1), R

根据推广到实数域的结论，我们可以快速推导出几种常见的导数。

(x)=(x^1)=1x^(1-1)=x^0=1

(x^2)=2x^(2-1)=2x^1=2x

(1/x)=[x^(-1)]=(-1)x^(-1-1)

=-x^(-2)=-1/(x^2)

(x)=[x^(1/2)]=(1/2)x^(1/2-1)

=[x^(-1/2)]/2=1/(2x)

(C)=(Cx^0)=C(x^0)

=C[0x^(0-1)]=C0=0

C是任意常数

(x)=1, (x^2)=2x, (1/x)=-1/(x^2)

(x)=1/(2x), (C)=0

接下来，我们讨论对数函数的导数。我在上一篇文章中已经详细讨论过，利用自然常数e的定义可以证明(e^x)=e^x。

导数真的是初等数学无法跨越的门槛吗？让人吐血的作品！最全衍生品硬科普！

由于证明过程比较复杂，有兴趣的朋友可以去我的主页看一下。

文章链接：

https://www.toutiao.com/article/7197230973258678822/

(e^x)=e^x

利用这个结论，我们可以求自然对数函数y=lnx以e为底的导数

y(x)=ln(x)，x=e^y(x)

利用复合函数的求导规则

(x)=[e^y(x)]=[e^y(x)]y(x)

1=xy(x)

y(x)=[ln(x)]=1/x

进一步推导出指数函数y=a^x 对于任何基数a>0 且a1 的导数

y(x)=a^x

ln[y(x)]=ln(a^x)=xlna

{ln[y(x)]}=(xlna)

[1/y(x)]y(x)=lna(x)=lna1=lna

y(x)=y(x)lna=(a^x)lna

(a^x)=(a^x)lna

类似地对于一般对数函数求导

y=log(a,x)，a>0 且a1

根据底变公式

[log(a,x)]=(lnx/lna)=(lnx)/lna

=(1/x)/lna=1/(xlna)

[log(a,x)]=1/(xlna)

我们对对数函数导数的讨论到此结束。接下来我们讨论三角函数的导数。

首先，我们求正弦函数的导数y=sinx

根据两角和差公式

(sinx), x0

=lim[sin(x+x)-sinx]/x

=lim[sinxcos(x)+cosxsin(x)-sinx]/x，x0

=lim[sinx+cosxsin(x)-sinx]/x

=lim[cosxsin(x)/x]

=cosxlim[sin(x)/x]，x0

根据重要限制

lim(sinx/x)=1，x0

lim[sin(x)/x]=1，x0

(sinx)=cosxlim[sin(x)/x]

=cosx1=cosx，x0

(sinx)=cosx

同理，我们还可以得到

(cosx)=-sinx

(tanx)=(secx)^2

(cotx)=-(cscx)^2

最后我们来推导一下反三角函数的推导。我们以反正弦函数为例：

y=arcsinx，x=siny

dx/dy=d(siny)/dy=(siny)=cosy

注意arcsinx[-1,1](-/2,/2)

舒适=cos(arcsinx)>0

dx/dy=舒适=(舒适)^2

=[1-(正弦)^2]=(1-x^2)

y(x)=dy/dx=1/(dx/dy)

=1/(1-x^2)

(arcsinx)=1/(1-x^2)

同理，我们还可以得到

(arccosx)=-1/(1-x^2)

(arctanx)=1/(1+x^2)

(arccotx)=-1/(1+x^2)

用户评论

闷骚闷出味道了

看到标题我笑出猪叫了，确实感觉导数像一道墙吧！

有20位网友表示赞同！

泡泡龙

我也是觉得导数很难理解啊，这篇文章看起来还挺好学的，看看能不能让我破开这道壁垒

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数学笔记同济第七版高等数学（上）第二章导数及微分函数的导数规则

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