导数真的是初等数学无法跨越的门槛吗?让人吐血的作品!最全衍生品硬科普! xunaa 2024-10-03 21:02:05 编辑说 函数y=f(x)在x=x0点的导数是指函数图像在x0点的切线的斜率k,记为k=y(x0)=f(x0)。 那么我们如何求这条切线的斜率呢?我们首先在函数图像上取两点 P0(x0,y0) 和P(x0+x,y0+y) 这 函数y=f(x)在x=x0点的导数是指函数图像在x0点的切线的斜率k,记为k=y(x0)=f(x0)。 那么我们如何求这条切线的斜率呢?我们首先在函数图像上取两点 P0(x0,y0) 和P(x0+x,y0+y) 这里y0=f(x0),y0+y=f(x0+x) y=f(x0+x)-y0=f(x0+x)-f(x0) 连接直线P0P,其中P0P 是函数图像的割线。当x0、x0+xx0时,点P逐渐逼近P0点,割线P0P逼近经过点P0的切线,且割线P0P的斜率也逼近这条切线。的斜率.这个过程的极限值是函数在x0点的导数。 割线P0P 的斜率等于 [(y0+y)-y0]/[(x0+y)-x0] =y/x 通过点P0 的切线的斜率 k=y(x0)=f(x0) =lim(y/x),x0 =lim{[f(x0+x)-f(x0)]/x} 由函数y=f(x)域内各点的导数组成的函数称为该函数的导函数,记为y=f(x)。 y=y(x)=f(x)=lim(y/x) =lim{[f(x+x)-f(x)]/x},x0 我们将自变量x的增量x表示为dx,称为自变量的微分;因变量y的增量y表示为dy,称为因变量的微分。那么导函数可以表示为: y=y(x)=f(x)=dy/dx, dy=f(x)dx 我们先求幂函数的导数 对于nN*,x0 (x^n)=lim{[(x+x)^n-x^n]/x} 根据二项式定理: (a+b)^n=[C(n,r)a^(n-r)b^r]r=0, 1, 2,…,n (x+x)^n-x^n =[x^n+nx^(n-1)x+C(n,2)x^(n-2)(x)^2+…+(x)^n]-x^n =nx^(n-1)x+C(n,2)x^(n-2)(x)^2+…+(x)^n (x^n)=lim{[(x+x)^n-x^n]/x} =lim{[nx^(n-1)x+C(n,2)x^(n-2)(x)^2+…+(x)^n]/x} =lim[nx^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)(x)+…+(x)^(n-1)], x0 =nx^(n-1)+0+…+0=nx^(n-1) (x^n)=nx^(n-1),nN* 也可以写成:y=x^n y=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1) dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx 使用稍后将显示的内容 (e^x)=e^x,[ln(x)]=1/x 我们还可以将上述结论中的正整数n推广到任意实数。 根据对数恒等式 x=e^(lnx) x^=[e^(lnx)]^=e^(lnx) (x^)=[e^(lnx)]=e^(lnx)(lnx) =x^(lnx) =x^(1/x)=x^(-1) (x^)=x^(-1), R 根据推广到实数域的结论,我们可以快速推导出几种常见的导数。 (x)=(x^1)=1x^(1-1)=x^0=1 (x^2)=2x^(2-1)=2x^1=2x (1/x)=[x^(-1)]=(-1)x^(-1-1) =-x^(-2)=-1/(x^2) (x)=[x^(1/2)]=(1/2)x^(1/2-1) =[x^(-1/2)]/2=1/(2x) (C)=(Cx^0)=C(x^0) =C[0x^(0-1)]=C0=0 C是任意常数 (x)=1, (x^2)=2x, (1/x)=-1/(x^2) (x)=1/(2x), (C)=0 接下来,我们讨论对数函数的导数。我在上一篇文章中已经详细讨论过,利用自然常数e的定义可以证明(e^x)=e^x。 由于证明过程比较复杂,有兴趣的朋友可以去我的主页看一下。 文章链接: https://www.toutiao.com/article/7197230973258678822/ (e^x)=e^x 利用这个结论,我们可以求自然对数函数y=lnx以e为底的导数 y(x)=ln(x),x=e^y(x) 利用复合函数的求导规则 (x)=[e^y(x)]=[e^y(x)]y(x) 1=xy(x) y(x)=[ln(x)]=1/x 进一步推导出指数函数y=a^x 对于任何基数a>0 且a1 的导数 y(x)=a^x ln[y(x)]=ln(a^x)=xlna {ln[y(x)]}=(xlna) [1/y(x)]y(x)=lna(x)=lna1=lna y(x)=y(x)lna=(a^x)lna (a^x)=(a^x)lna 类似地对于一般对数函数求导 y=log(a,x),a>0 且a1 根据底变公式 [log(a,x)]=(lnx/lna)=(lnx)/lna =(1/x)/lna=1/(xlna) [log(a,x)]=1/(xlna) 我们对对数函数导数的讨论到此结束。接下来我们讨论三角函数的导数。 首先,我们求正弦函数的导数y=sinx 根据两角和差公式 (sinx), x0 =lim[sin(x+x)-sinx]/x =lim[sinxcos(x)+cosxsin(x)-sinx]/x,x0 =lim[sinx+cosxsin(x)-sinx]/x =lim[cosxsin(x)/x] =cosxlim[sin(x)/x],x0 根据重要限制 lim(sinx/x)=1,x0 lim[sin(x)/x]=1,x0 (sinx)=cosxlim[sin(x)/x] =cosx1=cosx,x0 (sinx)=cosx 同理,我们还可以得到 (cosx)=-sinx (tanx)=(secx)^2 (cotx)=-(cscx)^2 最后我们来推导一下反三角函数的推导。我们以反正弦函数为例: y=arcsinx,x=siny dx/dy=d(siny)/dy=(siny)=cosy 注意arcsinx[-1,1](-/2,/2) 舒适=cos(arcsinx)>0 dx/dy=舒适=(舒适)^2 =[1-(正弦)^2]=(1-x^2) y(x)=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(1-x^2) (arcsinx)=1/(1-x^2) 同理,我们还可以得到 (arccosx)=-1/(1-x^2) (arctanx)=1/(1+x^2) (arccotx)=-1/(1+x^2) 用户评论 闷骚闷出味道了 看到标题我笑出猪叫了,确实感觉导数像一道墙吧! 有20位网友表示赞同! 泡泡龙 我也是觉得导数很难理解啊,这篇文章看起来还挺好学的,看看能不能让我破开这道壁垒 快速报名 学生姓名 意向学校 意向专业 联系方式 请输入正确的电话号码 或许你还想看: 导数真的是初等数学无法跨越的门槛吗?让人吐血的作品!最全衍生品硬科普! 数学笔记同济第七版高等数学(上)第二章导数及微分函数的导数规则 不定积分的一般性应用 点赞 免责声明 本站所有收录的学校、专业及发布的图片、内容,均收集整理自互联网,仅用于信息展示,不作为择校或选择专业的建议,若有侵权请联系删除! 大家都在看 上一篇 数学笔记同济第七版高等数学(上)第二章导数及微分函数的导数规则 下一篇 返回列表 大家都在看 导数真的是初等数学无法跨越的门槛吗?让人吐血的作品!最全衍生品硬科普! 函数y=f(x)在x=x0点的导数是指函数图像在x0点的切线的斜率k,记为k=y(x0)=f(x0)。 那么我们如何求这条切线的斜率呢?我们首先在函数图像上取两点 P0(x0,y0) 和P(x0+x,y0+y) 这 艺考资讯 2024-10-03 数学笔记同济第七版高等数学(上)第二章导数及微分函数的导数规则 1. (c)'=0 2. (x^n)'=nx^(n-1) 3. (a^x)'=a^x lna, (e^x)'=e^x 4. (loga(x))'=1/(xlna), (lnx)'=1/x 5. (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx 二、四则求导法则 假设u(x), v(x) 可 艺考资讯 2024-10-03 不定积分的一般性应用 不定积分公式是通过平移导数公式的项得到的。将不定积分公式中的自变量x读取为自变量后,可以由一个公式生成无数公式,解决无数问题。这在积分中起着基础作用。 02 不定积分常 艺考资讯 2024-10-03 浅谈学习高级数的导数 · 基本函数的导数: 所谓基本函数就是通常所说的初等函数,如常数函数y=c、一次函数y=kx+b、二次函数y=ax^2+bx+c、幂函数y=x^a、指数函数函数y=a^x、对数函数y=loga x、自然 艺考资讯 2024-10-03 用优美的几何原理推导出三角函数的求导原理 正弦函数sinX求导的几何原理: 反正弦函数arcsinX求导的几何原理: 正切函数tanX求导的几何原理: 反正切函数arctanX求导的几何原理: 割线函数secX求导的几何原理: 反割函数arcsec 艺考资讯 2024-10-03 一个IT人的自白 转动肩胛骨一次 倒一杯铁观音 白驹过隙,忽生二秋 远方还有希望和梦想 有火车、微信美女视频聊天和山核桃 有您的支持 如果你不在身边 生活无趣,失去动力 就像Python失去了阶级 艺考资讯 2024-10-03 地球直射阳光纬度计算公式 如上图所示,红色曲线是地球绕太阳运行的轨道。 O点是太阳的位置。 A点和C点分别是“冬至”和“夏至”期间地球的位置。现在假设地球移动到B点。是以OA为起始边,OB为结束边的角 艺考资讯 2024-10-03 您知道石材行业常用的几个数学公式吗? 点击了解:有了Stone CAD,石材的订购和布局就这么简单 数学作为解决各种学科问题的基础和重要工具,与人类的工作和生活密切相关。它已经渗透到人类工作和生活的各个方面。如果 艺考资讯 2024-10-03 汽车功率计算公式 1.汽车的行驶速度 Va=0.377rg.ne/io.ig (公里/小时) rg——车轮滚动半径m ne——发动机转速r/min io——后桥传动比 ig——齿轮箱传动比 2、车辆牵引性能计算 Ft=Me.io.ig. 艺考资讯 2024-10-03 三角函数不再难!记忆公式和解决问题的能力 到底是什么让三角函数如此困难?首先,三角函数的公式有很多,而且相互之间关系复杂。比如最基本的sin、cos、tan等,各自都有其反函数形式,如arcsin、arccos、arctan等。此外,还有双 艺考资讯 2024-10-03