浅谈学习高级数的导数

xunaa

2024-10-03 20:51:16

编辑说

· 基本函数的导数：
所谓基本函数就是通常所说的初等函数，如常数函数y=c、一次函数y=kx+b、二次函数y=ax^2+bx+c、幂函数y=x^a、指数函数函数y=a^x、对数函数y=loga x、自然

· 基本函数的导数：

所谓基本函数就是通常所说的初等函数，如常数函数y=c、一次函数y=kx+b、二次函数y=ax^2+bx+c、幂函数y=x^a、指数函数函数y=a^x、对数函数y=loga x、自然对数函数y=lnx、三角函数、反三角函数等。这些函数的导数需要记住。具体公式如下：

y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x

y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x

y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/1-x^2 y=arccosx y'=-1/1-x^2

y=arctanx y'=1/1+x^2 y=arccotx y'=-1/1+x^2

· 导数的运算规则：

导数的运算规则是引导数的加、减、乘、除四种运算规则。这也是需要掌握的重要内容。公式如下：

(uv)=u'vvu'

uv=u'v+uv'

u/v=(u'v-uv')/v^2

这里的u.v一般代表两个不同的函数，不会同时是常数。在这三种算法中，需要特别记住的是求两个函数的商的导数的方法。分子中出现减号，容易出错。对于上面提到的二次函数，它符合函数和与差的运算规则，所以y'=(ax^2)'+(bx)'+c'=2ax+b+0=2ax+b。

· 初等函数的四种算术运算的推导：

初等函数的四种算术运算就是上面提到的基本函数。求导时，通常采用上述求导运算规则。可以单独使用其中一种运算规则，也可以同时使用多种运算规则。下面是一个例子。举几个例子。

(1) y=sinx+5x-cosx，这是函数的和差运算，求导规则只使用了，所以：

y'=(sinx)'+(5x)'-(cosx)'=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5。

(2)y=(5sinx)*(3cosx)，这是函数的乘积运算，求导规则只用了，所以：

y'=(5sinx)'(3cosx)+(5sinx)(3cosx)'

=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)

=15(cos^2x-sin^2x)

=15cos2x。

(3)y=sinx/cosx，这是函数的商的运算。推导规则仅使用，所以：

y'=[（sinx）'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2

=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2

=1/(cosx)^2

=sec^2x，实际上y=sinx/cosx=tanx，其导数就是通过这个规则计算的。

(4) y=(sinx-5x+x^2cosx)/x，这个函数的求导需要用到以上三种算法，所以：

y'=[(sinx-5x+x^2cosx)'x-(sinx-5x+x^2cosx)x']/x^2

={[(sinx)'-(5x)'+(x^2cosx)']x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2

={[cosx-5+(x^2)'cosx+(x^2)(cosx)']x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2

={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2

浅谈学习高级数的导数

=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2

=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2。

· 复合函数的求导规则：

复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)、u=g(x)的导数的关系，即y=f(g(x))是

y'=f'(g(x))*g'(x) 表示y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。示例如下：

(1)y=(2x+1)^5,

y'=5(2x+1)^4*(2x+1)'=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4。

(2) y=sin(x^2+2x)。

y'=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)'=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x) 。

(3)y=(3x)^x，因为它既不是指数函数也不是幂函数，所以在求导之前需要进行变换，得到：

lny=xln3x，两边取导可得：

y'/y=ln3x+x(ln3x)'

y'/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1

所以y'=(3x)^x(1+ln3x)。

· 积分函数的导数：

有积分上限和下限的函数的推导有以下公式：

[(a,c)f(x)dx]'=0，a、c 为常数。解释：对于积分上限和积分下限为常数的积分函数，其导数=0。

[(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)，a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数的函数值以积分上限为自变量的导数乘以积分上限。

[(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a是常数，g(x)是积分上限函数，p(x)是积分下限函数。说明：积分上限和下限为函数的求导公式函数=以积分上限为自变量的被积函数值乘以积分上限的导数-以积分下限为自变量的被积函数值乘以积分下限的导数。

例如：

(1)[(x^2,1)(2x+5)dx]'

=(2x^2+5)*(x^2)'

=(2x^2+5)*2x

=4x^3+10x

(2)[(2x^2-1.x)sinxdx]'

=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'

=4xsin(2x^2-1)-sinx。

· 导数的应用之一：判断函数的单调性：

通过对函数求导，得到函数的驻点，然后研究导数的符号，得到原函数的单调递增或递减区间。即使自变量导数>0 的取值区间是其单调递增区间，自变量导数<0 的取值区间也是其单调递减区间。例如：

求函数的单调区间：y=2x^2-4x+3。

分析：对于这个函数，因为是二次函数，所以是抛物线。我们知道它的开口向上，对称轴x=1，所以当x>1时，函数单调递增，而x1,y'>0时，函数单调递增，区间(1,+)是函数的单调递增区间。同样的原因：

当x

用户评论

巷口酒肆

刚开始学高数感觉导数好抽象，慢慢琢磨着还是蛮有趣的。

有10位网友表示赞同！

最迷人的危险

数学考试老是考导数，真是头疼啊！

有20位网友表示赞同！

苏莫晨

想要快速提高数学能力，导数是必须掌握的重点知识点.

有16位网友表示赞同！

水波映月

高数课本上的导数讲解有点难度，需要多刷习题巩固。

有16位网友表示赞同！

＊巴黎铁塔

感觉学习导数最难的是理解它的物理意义。

有14位网友表示赞同！

小清晰的声音

推荐一些易懂的导数教程视频，能更直观地了解这个概念。<br>

有9位网友表示赞同！

哭花了素颜

学习导数，一定要打好微积分的基础知识!

有14位网友表示赞同！

屌国女农

明白导数的定义后感觉进步不少了，接下来继续努力学习其应用场景。

有9位网友表示赞同！

素颜倾城

高数真的很考验思维能力，导数更是如此！

有14位网友表示赞同！

何必锁我心

建议和同学一起互相探讨，更容易理解导数的原理。

有19位网友表示赞同！

忘故

学了导数以后，某些数学公式就变得不再神秘了。

有11位网友表示赞同！

致命伤

导数的应用范围非常广泛，涉及到很多实际问题!

有5位网友表示赞同！

眷恋

感觉掌握了导数，对其他高等数学知识的学习会有很大的帮助。

有17位网友表示赞同！

娇眉恨

想问一下，哪位大佬能推荐一些讲解好的导数资源呢？

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