（期中复习）等腰三角形的性质及判定与性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边等角”）。

性质二：等腰三角形的顶点平分线、底边高、底边中线重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形的底高（顶角平分线或底边中线）为其对称轴的直线。 通常只有一个对称轴。 注意不要说顶角的平分线是 线等腰三角形的性质，底边的高线就是对称轴。

例1：如图所示，AC=BC，∠ACB=90°，∠A的平分线AD与BC相交于D点，过B点为BE⊥AD于E点。验证：AD=2BE。

分析：从角点证明△AME≌△BAE为BE=ME，BM=2BE，再证明△ACD≌△BCM为AD=BM，等价代入证明AD=2BE。 有角平分线+海拔线。 将三条线合二为一即可得到中线。 不过解决问题时最好不要直接使用它。 使用全等三角形进行证明。

本题综合考察等腰直角三角形的性质、直角三角形中两个锐角互补、等角（或全等角）的补角相等、全等三角形的判断及性质、等价替换、三条直线分为一等相关知识点，重点掌握全等三角形的判断和性质，难点：利用辅助线构造三角形证明全等。

2.等腰三角形的确定

如果三角形中的两个角相等，则这两个角的对边也相等（称为“等角对边”）。 等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，也是将三角形内角相等转化为边相等的重要依据。 等腰三角形的性质定理和判定定理是倒数定理。

例2：如图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC并与AC相交于D。证明：AB=CD+BC。

方法一：先对AB取BE=BC，根据SAS证明证明△CBD≌△EBD，得CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得AE=DE=CD ，最后根据AB=BE+AE即可得出答案；

在上一篇文章中，我们说过，遇到a+b=c类型的题时，首先思考是否可以通过砍掉长的、补短的方式来解决问题。 如果不行，那就想想其他的方法。

方法二：先将BC扩展到F，令CF=CD，得到∠F=∠CDF，然后利用AAS证书得到△ABD≌△FBD，得到AB=BF，最后根据BF=BC+CF =BC+CD 即可得到答案。

本题考察等腰三角形的判断和性质。 使用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判断及性质、等腰三角形的判断及性质。 关键是画辅助线并构造全等三角形。

3. 操作问题

（1）操作练习：在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画一条直线将△ABC分成两个等腰三角形，并标出两个等腰三角形的底角。 程度; （需要两种不同的划分方法）

(2)分类探索：在△ABC中，最小内角∠B=24°。 如果△ABC被直线分成两个等腰三角形，请画出相应的图，并写出△ABC最大内角的所有可能值；

（3）猜想：如果一个三角形可以用直线分成两个等腰三角形，那么必须满足什么条件？ （请写出至少两个条件，无需证明）

问题1：按照要求画图即可（作AB的垂线或BC的垂线）；

问题2：在（1）的基础上，从“特殊”到“一般”，需要将24°三角形分成两个等腰三角形的情况有很多种。 总共有4种情况。 分别画图即可；

图1中最大角度=39°+78°=117°，

图2中最大角度=24°+180°-2×48°=108°，

图3中最大角度=24°+66°=90°，

图4中最大角度=84°，

因此，△ABC的最大可能内角值为117°或108°或90°或84°；

(3)若一个三角形能被直线分成两个等腰三角形，则应满足下列条件之一：

①该三角形是直角三角形；

②三角形的内角是最小内角的两倍； ③三角形的内角是最小内角的3倍。

本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合应用。 这道题不仅有趣、有创意，而且从“特殊”到“一般”、“范畴讨论”渗透着数学思想，做起来有难度。