经验主义与理性主义：数学哲学的核心观点及弗雷格的贡献

经验主义与理性主义，数学哲学中最重要的两种观点

这是数学哲学中最基本的两个思想。所以我可以简单地说，任何数学哲学家都必须坚持这两个思想。戈特洛布·弗雷格（1848-1925）在《算术基础：对数概念的逻辑数学探究》中讨论了密尔的经验主义和康德关于数学本质的理性主义，并提出了一种新的自然数概念。

弗雷格的自然数概念

客观的东西，比如“北海的面积是10,000平方英里，因此无论是‘北海’还是‘10,000平方英里’，我们所指的都不是我们头脑中的任何状态或过程”：相反，我们谈论的是相当客观的东西，是独立于我们的观念和一切思想的东西。

但尽管他大谈客观性并否认我们头脑中的过程，他根本不是一个经验主义者。对他来说，每个自然数的概念都应该只用数学和逻辑对象来构建。主要因为根据他的说法：

命题为真与被认为是真并不相同。

也就是说，与纯粹的心理（和经验）对象不同，仅仅因为某事物被相信或存在并不意味着它在逻辑和数学上是正确的。

对于弗雷格来说，数学和逻辑对象具有不同的属性，它们纯粹是分析性的，根据他的说法，将命题分类为综合命题或分析命题的最佳方法是看是什么使该命题为真或为假。也就是说，如果一个命题需要经验元素才能为真，那么它就是综合的，如果不需要，那么它就是分析的。他说：

在我看来，先验与后验、综合与分析之间的区别并不涉及判断的内容，而是涉及做出判断的理由（FREGE，1980，第 3 页/§3）。

现在让我们看看弗雷格如何解释数字0、1以及所有其他自然数的概念。

自然数“0”的概念

“0”这个概念指的是不存在与自己相同元素的集合，它相对于没有属于自己的元素的其他集合来说，就像是一个“数字”。

因此，当您说“篮子里没有剩余的苹果”时，根据弗雷格的数学哲学自然数，您是在将“篮子里剩余的所有苹果的集合”与弗雷格的零概念进行比较。

自然数“1”的概念。

对于数字1，弗雷格指出，两个相邻数字的概念必须以某种方式相关。在《算术基础》中，弗雷格说：

为了证明自然数序列中的每个数后面都有一个数，我们必须提出这个数所属的数的概念。

为了满足这一点，他指出，在自然数的秩序中，自然数概念的集合必须包含所有最小自然数概念的“外延”之和。所以这个数字包含在1的概念中，因此，弗雷格定义的有助于构成“数字1”的是它的较小邻居——数字0。

1 是“与 0 相同”的数字。

请注意，这使得“自然数 1”的概念只有一个元素（0），这样的概念使我们能够从纯分析的角度确定“自然数 1”是什么。

然后，当你将弗雷格的自然数集 1 与另一个只有一个元素的集合进行比较时，你就成功地将弗雷格的自然数 1 概念用作了自然数。或者，你将使用弗雷格的自然数 1 概念作为另一个集合的分类。

弗雷格对自然数的其他概念。

剩余数字的概念，也是通过对所有“前面的数字”进行“延伸”而得到的，见图。

三个重要概念：基数、外延、等价

为了更全面地理解这些概念，我们先来看一下基数、外延和等数的概念。弗雷格认为这三个概念如下：

基数是指找到集合基数的可能性，基数将根据属于集合的元素之和来衡量（定义）。例如，在康托的集合论中，这个概念（基数）允许我们说一些无穷大大于其他无穷大。

等数化的概念表明，具有相同基数的集合之间存在相等的概率。弗雷格对这一概念的理解如下：

只要概念F的对象和概念G的对象一一对应，那么属于概念F的数目（基数）与属于概念G的数目（基数）相同（相等）。

弗雷格还对“等数”的概念做了进一步的解释：

如果 a 平行于 b，那么“平行于 a 的线”这个概念的外延就等于“平行于 b 的线”这个概念的外延；反之，如果刚才提到的两个概念的外延相同，那么 a 就平行于 b。（......）要将这一点应用到我们自己的数字情况中，我们必须用线或三角形的概念来代替平行或相似的概念，即将属于一个概念的对象与属于另一个概念的对象对应起来的可能性。为了简单起见，当满足这个条件时，我会说概念 F 等于概念 G。

至于“外延”这个概念，我想说它是连接基数、等数和量化概念的关键概念。弗雷格用“外延”这个词来连接“函数”和“对象”，在他看来，概念F的外延就是“概念F的值的过程”。

但是“值的轨迹”是什么意思呢？例如，笛卡尔平面上的函数的 x 轴和 y 轴都可以包含上升的自然数序列。

弗雷格的理性主义及其经验主义论证

正如我们在上一节中看到的，弗雷格在他的定义中只使用了分析元素。他不像穆勒那样明确地诉诸经验主义概念。根据穆勒的说法，数学计算是观察事实的结果。他说：

(…) 计算不是来自定义本身，而是来自观察到的事实问题。

对此，弗雷格回答道：

根据密尔的说法，除非我们观察到一系列事物以这种特殊的方式分裂，否则实际上不可能得出 1,000,000=999,999+1。

弗雷格在《算术基础》中也指出，这种严格的经验主义的算术观很难解释“零”和“1”这两个数字。毕竟，有什么“物理事实”能为自然数0和1提供经验支持呢？

弗雷格的自然数概念是最恰当的吗？

弗雷格利用新的形式资源（集合和命题函数）创造了一种新的逻辑哲学。从某种意义上说，他的工作比皮亚诺走得更远，后者也试图阐明算术推理的基础（参见皮亚诺的五条公理）。

然而，弗雷格也面临问题。罗素悖论和哥德尔定理使得康托的集合论和整个逻辑主义看起来存在缺陷。

事实上，早在哥德尔不完备定理提出之前，就已经有人强烈反对弗雷格的数学基础。例如，庞加莱（1854-1912）就指出了形式主义和逻辑主义的弱点，正如格雷承认的那样，庞加莱的一些批评“得到了证实”。

对弗雷格与康德之争的几点解读

弗雷格的数学哲学并不像穆勒那样以具体的维度为基础，也不认同康德的数学命题具有综合性的观点，正如我们所见，弗雷格选择的数学基础是纯粹的分析性。

然而，并非简单地认为“空间和时间”（康德认为它们是纯粹的直观形式）不能帮助构成弗雷格的数概念。毕竟，例如，弗雷格使用“广延”的概念来实现他的自然数概念，而“广延”是一个与空间概念极为接近的概念。弗雷格甚至在几何推理中使用了这个术语，他说：

如果直线 a 平行于直线 b，那么“一条平行于直线 a 的直线”概念的外延与“一条平行于直线 b 的直线”概念的外延相同。

因此，我认为弗雷格和康德思想之间的关系值得更多的关注。