（数学）初中数学知识点汇总！和负数的区别！

新学期开学已经两周了。 初一的小可爱们适应初中的学习节奏了吗？

从有理数开始，大家都会开始一种与小学时完全不同的数学新观。 豆姐整理了这部分知识点，希望对现阶段的大家有所帮助！

正数和负数

知识点1 正数和负数的概念

(1)大于0的数，如3、1.5、1/2、584等，称为正数。 小学学过的数字除了0以外都是正数，而且正数都大于0。

（2）诸如-3、-1.5、-1/2、-584等在正数前面加“-”（读作负数）符号的数字称为负数。 负数小于 0。

(3) 零既不是正数也不是负数。 零是正数和负数之间的界限。

注意：

(1) 为了强调，有时可以在正数前加“+”（读作正）号。 例如，3和1.5也可以写成+3和+1.5。

（2）正数和负数的概念不能简单理解为：带“+”号的数字为正数，带“-”号的数字为负数。

例如：-a一定是负数吗？ 答案是不一定。 因为字母a可以代表任意数字，如果a代表正数，那么-a就是负数； 如果a代表0，那么-a仍然是0； 当a表示负数时，-a不是负数（当-a是正数时）。

正负数的表达

正数和负数根据实际需要生成。 随着社会的发展，小学所学的自然数、分数、小数已经不能满足实际需要。 比如一些含义相反的数量：收入200元，支出100元，零以上，零以下六等，它们不仅含义相反，而且还代表一定的数量。 如何表达它们？

我们将一个意义的量定义为正，将另一个意义相反的量定义为负，从而产生正数和负数。

当使用正数和负数表示含义相反的量时，可以选择哪个含义为正。 但习惯上将“前进、上升、收入、气温在零以上”定义为正，将“后退、下降”定义为正。 、支出、零下气温”等条款均为负数。

有理数

知识点1 有理数相关概念

有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时出于研究需要，整数也可以看成分母为1的数，此时的分数也包括整数。 不过，本讲的分数不包括分母为1的分数。

（2）由于分数可以变换为有限小数和无限循环小数，并且上述小数都可以用分数表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看成分数。

(3)“0”既不是正数也不是负数，但“0”是整数。

整数包括正整数、零和负整数。 例如：1、2、3、0、-1、-2、-3 等。

分数包括正分数和负分数0是不是有理数，如：1/2、0.6、-1/2、-0.6等。

知识点2 有理数的分类

(1)按照整数和分数的关系分类：

(2)按照正数、负数和0的关系分类：

注：正数和0通常统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也称为自然数），负整数和0称为自然数。统称为非正整数。

如果用字母来表示数字，则a>0表示a为正数； A

知识点3 数轴

数轴是理解有理数概念和运算的重要工具。 将数字与表示数字的图形（如数轴）结合起来的思想是学习数学的重要思想。 正如华罗庚教授在诗中写道：

数字和形状本质上是相互依赖的，那么它们如何能被分成两侧呢？

当数字缺乏形式时，就没有多少直觉；当形式很小时，就很难理解其中的微妙之处。

数字和形状的结合从各方面来说都是好的，但分离和分离都是不好的。

永远不要忘记，几何和代数是一个统一体，始终联系在一起，永不分离！

数字与形状的第一次联姻——数轴，建立了数字与直线上点的对应关系，揭示了数字与形状之间的内在联系，从而成为数字与形状结合的基础。

1、数轴的定义：指定原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。

数轴的定义包含三个层次的含义：

(1)数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；

(2)数轴具有原点、正方向、单位长度三个要素，三者缺一不可；

（3）原点的选择、正方向的方位、单位长度的确定都是根据实际需要“指定”的（通常正确的方向就是正方向）。

2.如何画数轴：

(1)画一条直线（通常是水平直线）。

(2) 选择直线上的一点作为原点，用该点代表零（在原点下方标记“0”）。

(3)确定正方向(一般规定右为正)并用箭头表示。

(4) 选择合适的长度作为单位长度。 从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，表示为1、2、3……； 从原点向左每隔一个单位长度取一个点，依次表示。 是-1、-2、-3...

笔记：

(1)原点的位置和单位长度的大小可根据实际情况适当选择；

（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以从原点向右每两个（或更多）单位长度取一个点，表示为2、4、6、……； 从原点向右左，表示为-2、-4、-6、...；

3、数轴上的点与有理数的关系：

所有有理数都可以用数轴上的点表示。 正有理数可以用原点右侧的点表示，负有理数可以用原点左侧的点表示，零可以用原点表示。

4. 使用数轴比较有理数的大小：

当两个数在数轴上表示时，右边的数总是大于左边的数。 所有正数均大于0； 所有负数都小于 0； 所有正数都大于所有负数。

知识点4相反数

1.相反数的定义

(1)异数的几何定义：数轴上原点两侧且距原点等距的两点所表示的数，称为互斥数。 例如，4和-4是彼此相反的数字。

（2）相反数的代数定义：只有两个数的符号不同（除符号不同外相同），我们说其中一个数是另一个数的相反数。

2、相反数的性质：

每个数都有它的相反数，而且只有一个相反数。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

0是唯一一个其相反数等于其自身的数。 相反，如果a=-a，则a必定为0。

3、相反数的特点：

如果a和b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）

如果a+b=0（或a=-b），则a和b互为相反数。

4. 求一个数的相反数的方法：（见书本）

5. 多个符号的简化

(1)在数字前面加“+”号，仍与原数字相同，如+5=5，+(-5)=-5。

(2)在一个数前面加一个“-”号，成为原数的相反数。 例如，-(-3)与-3相反，因此-(-3)=3。

知识点5 绝对值的概念

1、绝对值的几何定义：数字a的绝对值是代表数字a的点到数轴上原点的距离。 数字a的绝对值记为“丨a丨”

2、绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值就是0。

知识点6 有理数大小的比较

所有正数都大于 0，所有负数都小于 0。正数大于所有负数。 两个负数之间，绝对值较大的较小。

使用数轴时，数轴右侧的数字总是大于左侧的数字。

有理数的加法和减法

有理数的加法

将两个有理数合并为一个有理数的运算称为有理数加法。

两个有理数可以在下列情况下相加：

(1) 两个数均为正数；

(2) 两个数均为负数；

(3)两个数的符号不同，一个为正数，一个为负数；

(4) 一个为正数，另一个为0；

(5) 一个为负数，另一个为0；

(6) 两者均为 0。

知识点2 有理数加法规则

(1) 两个同号数相加，取相同符号，然后将其绝对值相加。

(2) 两个符号不同且绝对值不相等的数相加，取绝对值较大的被加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。 两个互为相反数的数相加得到 0。

(3) 如果一个数加0，仍然得到该数。

知识点3：有理数加法的运算规律

(1) 加法交换律：a+b=b+a。

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

知识点4：有理数减法规则

减去一个数相当于加上该数的相反数，即ab=a+(-b)。

知识点5 有理数加减混合运算

一、有理数加减法统一为加法的意义

对于有理数加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法规则将减法转化为加法。

这样就将原来的混合运算统一为加法运算。 统一为加法的公式是几个正数或负数的和。 有时，我们将这样的公式称为代数和。

2、有理数加减混合运算的方法

(1)利用减法规则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

(2)利用加法规则、加法交换律、加法结合律进行简单运算。

有理数的乘法和除法

知识点一：有理数乘法规则

两个数相乘时，符号相同的数为正，符号不同的数为负，绝对值相乘。 任何数字乘以 0 都会得到 0。

知识点2 倒数的概念

乘积为 1 的两个数互为倒数。

由于a×1/a(a≠0)，当a为非0的有理数时，a的倒数为1/a。 如果a和b互为倒数，则ab=1。

知识点3：有理数乘法规则的推广

(1)当几个不等于0的数相乘时，乘积的符号由负因数的个数决定。 当负因子为奇数时，乘积为负； 当负面因素为偶数时，乘积为正。

(2) 多个数相乘时，只要其中一个因数为0，乘积就为0。

知识点4：有理数乘法运算规律

(1)乘法交换律：ab=ba。

(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)。

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac。

知识点5 有理数除法规则

(1) 除以一个数等于乘以该数的倒数。 即，a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2)两个数相除时，符号相同的数为正，符号不同的数为负，并除绝对值。 将 0 除以任何不等于 0 的数字，得到 0。

知识点6 有理数的混合乘除运算

除转移外，确定符号。

知识点7 有理数的四种混合运算

先乘除，再加减。 如果有括号，则先计算括号内的值。 同一级别操作时，顺序应从左到右。

有理数的幂

知识点1 有理数取幂的含义

知识点2：有理数幂运算的性质

正数的任意幂都是正数； 负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 0的任意次方都是0。

知识点3：有理数混合运算的运算顺序

先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后计算加法和减法。 如果有括号，则先计算括号内的内容。

知识点4 科学计数法

知识点5：研究近似数的含义

在生产实践和现实生活中，不仅存在大量的精确数，而且还存在大量的近似数。 近似数是接近实际数的数。

近似数字的出现有两个原因：第一，有时无法获得完全准确的数字，例如太阳的半径约为696,000公里；第二，有时无法获得完全准确的数字。 第二，有时候没必要做到完全准确，比如买10公斤大米的时候，有时候可能多一点，有时候少一点。

知识点6位有效数字

四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字开始，到精确的数字，所有的数字都称为这个数的有效数字。

方法提示1：在仅包含乘法和除法的计算中，结果的符号可以通过“负”号的数量来确定。 当“减”号为奇数时，结果为负； 当“减”号为偶数时，结果为正。

方法提示2：分数和小数的乘除混合运算，通常是将小数化为分数，带分数化为假分数。 将乘法和除法转换为乘积形式时，首先要确定乘积和和的符号。 如果有多个括号，一般拆除括号的方法是从内到外，即依次拆除小、中、大括号，或者从外到内。 进行混合运算时，需要注意两点：一是运算的顺序，二是运算的符号。

方法提示三：灵活运用有理数的运算规则和定律，适当添加或去掉括号来改变运算顺序，往往可以达到简化运算的效果。 舍入、分组、拆分项、取消、分解和整体处理是有理数运算的常用方法和技术。

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