人教版六年级上册分数乘分数第二课时：探究垃圾分类中的数学问题

今天我们学习的是人教版六年级课本分数乘法单元的第二课分数乘法，通过前几课的学习，让学生深刻的理解分数乘法的意义和算术。

这节课我们将继续研究分数乘法的相关问题，看看屏幕前的同学们有什么新的发现，新的理解，新的收获。

北京市生活垃圾管理条例将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、危险垃圾和其他垃圾四类。

李大爷对自己所在社区的垃圾分类情况进行了调查，了解到社区每天回收大概9/10吨的可回收物，其中废纸就占了可回收物的2/3左右。

你从中发现了什么数学信息？

您想研究什么问题？

一些学生发现了这一点。

该社区每天回收大约9/10吨的可回收物品。

废纸约占可回收物的2/3。

您找到所有这些信息了吗？您想研究什么问题？

小明想研究一下这个小区每天回收多少吨废纸邮票？

文文想知道，如果按照30天计算，这个小区一个月回收多少吨可回收物？我们先来看第一个问题。

你能算一下这个社区每天大约回收多少吨废纸吗？

请屏幕前的同学们先独立思考一下。

然后尝试在学习表上写下或画出你的想法。

我们来看看小志是怎么做吧。

我画了一个图，9/10吨，就是把一吨分成十等份，取其中的九份，就是每天的可回收总量。

废纸票占可回收物的2/3，所以9/10吨需要分成三等份，废纸票占其中的两份。

废纸有多少吨？也就是9/10吨的2/3是多少？所以我们用9/10乘以2/3，用分母的乘积作为分母。

分子乘积的分子是18/30，进而简化为3/5吨。

小志是个好学生，他利用画图来理解分数乘法的意义，并有效地解答了题目。

我们继续听听其他同学的想法。

我觉得小志解释的很清楚了，我的公式和小志的一样，答案也一样，只是计算过程稍微有点不同。

同学们，我们来比较一下这两个学生的计算过程。

你发现了什么？

我们一起来说说吧，小志的方法是把分母的乘积作为分母，把分子的乘积作为分子，然后约分，也就是先乘再约分，小涵的方法是先约分再乘，虽然两种方法略有不同，但结果是一样的，所以我觉得他们两种方法都是正确的。

有些同学比较困惑，我们一起来听一下。

从这道题的计算结果来看，先约分是可以的，但是这是巧合吗?以前我们约分的时候，总是把同一个分数的分子和分母都约分。

这里，不同分数的分子和分母都减少了。

这样横向复位真的可以吗？有什么理由吗？

学生们真的非常善于学习。他们不仅知道事实，还知道背后的原因。他们勇于寻求真理。他们真的很棒。

接下来，请你仔细思考一下。

像这样减少不同分数的分子和分母有意义吗？

屏幕前的同学们，你们有什么想法吗？

我们一起聊聊吧。

琪琪说，我是这么认为的，约分的过程就是在分子和分母中找出相同的因数并达成一致。

18/30 可以直接除以六作为分子和分母。

分子变成三，分母变成五。

如果看中间的过程，九可以分解成三乘以三，同时分母也可以除以三。

十可以分解为二乘以五，同时将分子除以二，然后将余数乘以三加一，再乘以五加一。

结果是 3/5。

可以看出，不管是先约分再乘，还是先乘再约分，最后的分子和分母都是除以六的最大公约数。

尽管九和三不是来自同一个分数，但九是 18 的因数。

第三，最终的减法过程中必须考虑所有 30 的因数。

因此，在乘法之前先像这样减少分数是可以的。

二和十也可以减，原理是一样的。

我懂了。

30 可以分成两次三次。58 可以分成两次三次三次。

十乘以三等于二乘以五乘以三，九乘以二等于三乘以三乘以二。

比较这两部分，我们可以发现分母所含的因数都是235。

分子含量的因素有二三和一二。

只是这些因素所处的位置不同而已。

分子和分母的共同因数是二和三，因此，无论先约分还是后约分，分子和分母都必须同时除以二。

然后同时除以三。

也就是说两者都要除以六的最大公约数，所以先这样把分数约小再相乘是可以的。

听了同学们的交流后，甜甜有了新的想法。

由于不同分数的分子和分母都可以减少，所以不需要像这样将它们相乘。

就这样分开写，然后直接约分就可以了。

学生们的思维非常敏捷，能够快速分析出知识背后的原理，并运用到实践中，非常了不起。

我希望同学们在以后的学习中，能够像我刚才一样，勇于探索知识背后的原理。

知道为什么某事会如此不仅很重要。

正如学生们分析的那样，减少分数确实是有其逻辑的。

同时要更加简洁。

你可以像每天那样单独写，然后直接减少分数。

刚才我们利用分数乘法的意义，列出公式，解决了第一题。

现在我们来看第二个问题。

如果按照30天来算，你能算出这个社区一个月回收了多少吨可回收物吗？

请先独立思考。

然后在学习任务表上写下或画出你的想法。

怎么样？完成了吗？谁能告诉我一下？

我想是这样。

因为从信息里我们可以知道这个社区每天回收的可回收物大概是9/50吨，需要30天的时间。

是30 9/10吨，即9/10乘以30个分数和其他整数，分子是分子乘以整数，分母不变，减法后的结果是27吨。

我和乐乐用的口诀是一样的，不过我画图就明白了。

一天可以回收9/10吨可回收物，两天可以回收两个9/10吨。

30 9/10 吨，也就是 9/10 乘以 30，可以在 30 天内回收。

我就是这样把分数化简的，结果也是27吨。

在解题过程中，这两位同学也牢牢掌握了分数乘法的含义。

屏幕前的同学们，你们是这样做的吗？

比较这两位同学的计算过程，你发现了什么？

快来告诉我们吧。

两位同学都是先约分再乘以分数，都是用整数和原分数的分母来约分，结果一样，但也有些差别，乐乐是先用整数乘以分子来约分，而琪琪重新写题，直接约分。我觉得两位同学的解法都没有问题。

这位学生有一个疑问。

我的公式和他们的一样，但结果却不同。这是怎么回事？

请屏幕前的同学们来帮助这位同学，看看他的问题出在哪里。

这位同学说这样简化分数是不对的。我一开始也是这么写的。因为通常简化分数的时候，我们把同一个分数的分子和分母都简化，感觉就是上下简化，而这里看起来像是整数和分母。

整数和分子都好像是上下的，所以我当时也没多想，就把整数和分子都减了，后来一算，9/​​10乘以30的结果比9/10还小，所以我肯定是算错了。

然后我注意到错误是在约分时犯的。

我想提醒我的同学在计算分数时要小心。

另外写完之后要仔细检查。

这位同学分析的很有道理，这种题目真的很容易犯错。

看来仔细检查并估算结果确实是个好主意。

还有其他方法可以避免在约分时犯这样的错误吗？

很多同学已经有了自己的想法，我们来听听他们的想法吧。

小新说，我们可以这样做，一个整数可以化成分母为一的分数。

9/10 乘以 30 可以写成 9/10 乘以 30/1。

将分数乘以整数就变成将分数乘以分数。

当听到小新的想法后，有的同学说道。

哦，我明白了。整数化为分数时，30 就是分子。分子不能互相约分，所以 30 只能除以 10 月。

田田说，我还发现，整数转换成分数时，整数就变成了分数的分子。

同学们，原来我们要用9乘以30的乘积作为分子，也就是分子与整数的乘积作为分子。

它等于9乘以30作为分子，也就是分子的乘积。

原来如此，分母还是十，也就是说分母不变，跟用十加一的乘积做分母是一样的，也就是用分母相乘的乘积作为分母。

这样，无论是分数乘以整数，还是分数乘以分数，都可以用分数乘以分数的方法计算。

同学们太棒了，通过变换、找联系的方式，统一了分数乘法的计算方法，非常了不起。

现在让我们结合这些收获来完成一个小练习。

虎鲨不仅是海洋里著名的大家伙，而且它的游泳速度也非常快，每分钟可以达到5/6公里。

海豚每分钟游泳的距离是虎鲨每分钟游泳距离的五分之四。

同学们，根据这些信息，你们能提出什么数学问题？

小莉提出的问题是：海豚每分钟游多少公里？

乐乐想知道虎鲨每分钟能比海豚多游多少公里？

这两个问题该如何解决呢？

请把你的想法写在学习任务表上。

我们先看第一个问题。

我们来看看小华的思考过程。

通过画图就能够理解。

以虎鲨每分钟游动的距离 5/6 公里为一个单位，一。

将其分成五等份。

海豚每分钟游动的距离相当于这个数字的四倍。

海豚每分钟可以游多少公里？也就是说，5/6 公里中的 4/5 是多少？

因此将 5/6 乘以 4/5。

缩减后的结果是2/3公里。

屏幕前的同学们，你们这么认为吗？

老师，这里有另外一个同学的做法，你对比之后，发现了什么？

文文说，他们列出的公式都是正确的，但是解题过程略有不同。

小华把等式中的分数约化了。

这样公式就被破坏了，看不清。应该像岳岳那样做。如果需要约分，就把公式重写，在重写的版本上约分。

这看起来更清楚一些。

这位同学的提醒特别好。

通过这样写出约化过程，计算结果看起来特别清晰。

我们来看第二个问题。

月月说，虎鲨的奔跑速度可达每分钟5/6公里。

我们还发现海豚每分钟游泳2/3公里。

用 5/6 减去 2/3 可知分数乘分数，虎鲨每分钟的游泳距离比海豚多 1/6 公里。

好了，同学们，通过这节课，你们学到了什么呢？

小韩说，今天我们利用分数乘法的意义来解决了很多生活中的实际问题。

小明说：“我明白了。在分数乘法的计算过程中，不仅可以先乘再约分，还可以先约分再乘。”

乐乐说：“我也知道了这减量背后的原因。通过这节课，我感受到学习知识不只是要知道事实，更要知道原因，要勇于探索知识背后的原理。”

琪琪继续说：“我明白了。原来分数乘以整数，可以转化为分数乘以分数。它们的计算方法是一样的。”

看来同学们收获了很多，不只是知识上的，而且学习方法上也得到了提高。

希望以后同学们也能像今天一样，勇于探索知识背后的原理，收获更多。

同学们，今天我们学习了分数乘法单元的第二课，具体内容见数学课本第5页例4。

今天的课后练习是数学书第五页的三道小题。

好，今天的课就到这里，同学们再见。