（知识点）无穷集合无理数集哪个大？

首先我们需要定义如何比较无限集的大小。 有限集合可以用自然数来描述，但是无限集合呢？

我们注意到，如果两个有限集的大小相等，那么它们一定有一一对应关系。 映射记为 f: A \to B 。既然是一一对应，自然就存在逆映射 f^{- 1}: B \to A 。 这种映射称为双射。

那么很自然地将双射的概念扩展到无限集。 假设两个无限集之间存在上述双射，可以说它们大小相同。 这种等价关系称为等势（定义），记为 | 一个| = |B|，并且据说它们的基数（势）相等。

现在回到问题（暂且默认非负数，正数和负数都可以自然泛化的情况），有理数和无理数哪一组更大？ 先说结论：无理数很大，无理数和实数潜力相等； 有理数和自然数具有同等的潜力。 设自然数的势记为\，势相等的集合称为可数集； 我们将实数的势称为可数集。 势用 \ 表示，对应的集合是不可数集合。 现在我们将分几步来证明这一点。

第一步：

首先证明有理数和整数势相等，相当于证明\{N}和\{N}在二维向量中相等。 毕竟有理数的形状为\frac{a}{b}，a,b\in\{N}，一般采用如下映射：

康托配对功能

根据箭头方向，它们分别对应\{N}中的0、1、\dots。 不要以为这样的映射是无穷无尽的所以映射无法完成——只要给出任意有理数，就一定有一个对应的自然数。 ；同样，给定自然数，也存在唯一对应的有理数。 这满足了势均等。

第二步：

现在我们需要证明 [0, 1) 中的实数不是可数集。 这里我们使用康托原始的对角论证方法，看一下分解：

我们知道实数可以用二进制表示。 假设实数集合是可数的，那么我们可以用自然数对其进行编号，并写出一个序列 \{r_n\} (r_{ij} = 0, 1)：

r_0 = 0。r_{00}r_{01}r_{02}\dots\\ r_1 = 0.r_{10}r_{11}r_{12}\dots\\ r_3 = 0.r_{20}r_{ 21}r_{22}\点\\ \v点

此时选择对角项，取q_{ii} = \neg r_{ii}，也就是说将0变为1，1变为0，从而形成一个新数q = 0.q_{00}q_ {11}q_{22}\dots，显然，q 和 \{r_n\} 中的任何一个之间总是存在一位差异。 然而，q 是二进制十进制，因此 q \in \{r_n\}，这就产生了矛盾。 原命题得证。

第三步：

证明[0, 1)中的实数有什么用？ 因为可以证明 [0, 1) 和 [0, +\infty ) 等势，所以只需要一个函数 \tan{\frac{\pi}{2}x} 即可在两者之间产生双射。 所以现在实数的潜力也比自然数更大。

第四步：

这个时候，如果我们假设无理数是可数的，会发生什么呢？ 那么既然实数是有理数和无理数的并集，那么两个可数集合的并集是什么？ 当然，它也是可数集。 这是因为如果 \{a_n\}, \{b_n\} 是两个可数集合，表示为序列，那么它们的并集自然可以表示为 c_0 = a_0, c_1 = b_0, c_2 = a_1 , c_3 = b_1\dots，另一个生成了可数集，这与实数的不可数性相矛盾。 因此，无理数是不可数的。 而在ZFC公理下，任何无限集都包含可数无限集作为子集，因此可数集是最小无限集，因此无理数的潜力大于自然数，也大于同理数的有理数。势如自然数。

任务完成。

额外的：

现在注意一件事：当将无限集添加到任何以\为底的集合时，底数不会改变，因为无限集本身包含一个以\为底的子集，而两个\相加仍然是\。 这就是我们上面证明的。 。 因此，由于无理数和实数之间的唯一区别是基数为 \ 的集合，那么两者之间的基数应该相同。

这也可以由连续统假设给出：无理数是不可数的，但\和\之间没有底，所以无理数的底只能是\。 不过，由于连续统假设和ZFC公理是独立的有理数无理数，所以这一段稍微有些多余。 即便如此，无理数的例子也可以说明连续统假设与ZFC公理并不矛盾。

整篇文章所涉及的逻辑和假设都没有经过仔细检查。 我们只能保证大体思路是正确的。 如有错误，请指出。