晶体中电子的运动状态和能量之间的关系

如图1(a)所示，对于任意能带结构：

电子填充的能量最高的能带称为价带（band，价带的顶能量为E_{v}）； 未被电子充满的能量最低的能带称为导带（band，导带的底能量为E_{c}）； 导带底部和价带顶部之间的能量差称为带隙（E_{g}，或带隙宽度）。

能带结构图显示了晶体中电子的运动状态与能量的关系。 在处于热平衡的晶体中，空间中每一点电子的物理状态和运动状态都是相同的。 导带底部电子的能量为E_{c}，价带顶部电子的能量为E_{v}。

在包含 n 个电子和 N 个初级晶胞的晶体中，每个能带包含 2N 个能态。 为了满足泡利不相容定理，每个能态只能填充一个电子，并且电子的填充是从最低能级开始的。 因此，电子占据的能带数为：n/2N。 考虑到n/2N是每个主晶胞中的电子数，是整数，因此n/2N也是整数或半整数。 因此，在0K条件下，一定有一些能带被电子完全充满，最后一个（最高能量）能带必须被完全充满或半充满。 晶体的导电性能取决于该能带是否被完全充满。

图1(ad)分别显示了半导体、半金属、绝缘体和金属可能的导带结构和电子占据。 它们的能带结构存在明显的差异，这也可以用来定性地解释金属、半导体和绝缘体之间电导率的差异。

图1（a）、（b）、（c）和（d）分别显示了半导体、半金属、绝缘体和金属固体可能的能带结构及其内部电子占据。 1.1 绝缘体 ()

如图1（c）所示，在绝缘体的能带结构中，电子完全占据了价带中的能级，而导带中的能级是空的，并且它们通常具有较高的带隙（> 5eV）。 因此，即使受到热能或外部电场能的作用，价带顶电子吸收的能量也不足以将它们激发到导带。 也就是说，虽然绝缘体导带中存在很多可以接受电子的空能态，但实际上很少有电子有能力占据导带中的能态。 这对电导的贡献微乎其微，导致绝缘体表现出极高的电阻并且无法传导电流。 因此，晶体成为绝缘体的必要条件是每个晶胞中有偶数个电子。

在0K条件下，晶体中的电子从最低能级开始占据能态，直到所有电子占据相应的能态。 电子所能占据的最高能态所对应的能级称为费米能级。 ，E_{F}带的结构，借助费米能级可以更有效地讨论固体性质。

1.2 金属（导体、）

在金属的能带结构中，导带要么被部分填充（例如铜，如图1（d）所示），要么与价带重叠（例如锌或铅，如图1（b）所示） ），并且根本不存在带隙。 前者对应一些碱金属（Li、Na、K等）和贵金属（Cu、Ag、Au等）。 每个初级晶胞中的电子数量是偶数。 最后一个能带是半充满的，费米能级大约是最后一个充满能级的一半。 部分填充导带顶部的电子在获得动能时（例如在外部电场的影响下，甚至在 0K 时）可以轻松移动到下一个能级。 由于接近充满电子的能态仍有许多未占据的能态，因此只要有很小的外场作用，电子就可以自由移动。 这就是金属导体很容易导电的原因。

对于一些原晶胞中电子数为偶数的金属（Be、Mg、Ca、Sr、Ba等），能带结构更为复杂，如图1（b）所示。 最后一个应该完全填满。 一个能带（能带1）的最大能量可以大于下一个能带（能带2）的最小能量。 换句话说，它的导带和价带重叠。 因此，一些本应位于能带 1 顶部的电子将占据能带 2 底部的能态。因此，两个能带都被部分填充。 在这类材料中，外部电场也会改变电子的能量状态，导致电流的产生，因此它们也是导体。 但它们的导电性能不如以前的金属，因此也被称为半金属。

1.3 半导体()

对于半导体来说，在0K条件下，其能带中的导带是完全空的，而价带是完全满的。 如果没有可以参与传导的电子，电子就无法在外场的影响下移动，从而产生静态电流。 在这种情况下，半导体和绝缘体就没有区别了； 但在一定温度下，半导体晶体中的热振动可能会导致一些电子获得足够的能量，脱离价键，从价带激发到导带。 此时，如图1(a)所示，导带中有少量电子，可以参与传导。 由于电子的逃逸，价带中也会空出与逃逸电子相同数量的空轨道（空位）。 这些空位也可以在外部场下移动，从而产生静电电流。

基于此，就不难理解为什么“间隙宽度”会成为影响固体导电性能的决定性因素。 带隙越大，电子越难从价带顶部跨越禁带到达导带底部，导电成本越高。 例如：Si的E_{g}为1.2eV，是半导体。 SiO的E_{g}为8eV，是绝缘体。

我们还可以从另一个角度来理解带隙宽度对半导体导电性能的影响。 已知在0K时，晶体能带中充满电子的最高能级为费米能级E_{F}。 在高于 0 K 的温度下，能量接近费米能级的电子被热激发到高于 E_{F} 的能态。 根据费米-狄拉克分布函数，在温度 T 下，能量在 E ~ (E + dE) 范围内的能态被电子占据的概率由 f(E)dE 给出，其中：

f(E)=1/(1+e^{(E-E_{F}/k_{B}T)})，其中 k_{B} 是玻尔兹曼常数（ k_{B}=1.38\ 乘以 10^{ -23} J/K )

f(E)表示能量为E的能态被电子占据的概率。

半导体的导电性能主要由导带中电子的数量决定。 在0K时，E_{F}=E_{v}，电子只有从价带顶部跃迁到导带底部时才具有导电能力。 导带底部的能量为E_{c}，那么半导体的电导率取决于E_{g}/k_{B}T的值（即取决于E_{g}）。

2 半导体中的载流子及其有效质量 2.1 载流子的基本概念

根据以上内容可以看出，半导体中实现电流传输的粒子有两类：导带中的电子（）和价带中的空穴（Hole）。 这两者都可以称为载体。 其中，电子是带负电的导电载流子，是价电子脱离原子键后形成的自由电子； 空位是带正电的导电载流子，是价电子脱离原子键后形成的电子空位。

当温度升高或受到光照射时，半导体价带顶部的电子可能吸收足够的能量，跨越禁带，到达导带底部。 自由电子将出现在导带中，空穴将同时出现在价带中。 该过程也称为本征激发或热激发。 由于热激发而出现的自由电子和空穴同时成对出现，称为电子空穴对。 此外，自由电子也可能返回空穴，导致一对电子和空穴同时消失。 这个过程称为重组。

在外场的影响下，自由电子和空穴会向特定方向移动，分别形成电子流和空穴流。 在研究这两类载流子的行为时，它们可以等同于自由粒子。 然而，与真空中的自由粒子不同，这些粒子受到晶格周期性势场的影响。

2.2 载体有效质量

对于自由电子，根据量​​子力学，它们可以被描述为以（群）速度（平均速度）v_{g}=\\omega/\k传播的波包。 由于电子能量为E=ℏ\omega，则：\E/\k=ℏv_{g}

如果电子由于电场而受到力F，则能量与位移的关系可写为：dE=F dx，电子速度与力的关系为：

F dx=ℏv_{g} dk ，代入 dx=v_{g}dt： F=ℏ dk/dt (1)

另外，电子加速度可写为：a=\ v_{g}/dt=ℏ^{-1}\cdot \ ^{2}E/\ k\ t=ℏ^{-1}\cdot \ ^{2} E/\ k ^{2}\cdot dk/dt (2)

由式（1）和式（2）可得： F=a\cdotℏ^{2}/(\^{2}E/\k^{2})=a\cdot m^{*}\m ^{ *}=ℏ^{2}/(\^{2}E/\k^{2})

根据上述推导过程，我们可以得到，对于在周期性势场中运动的自由电子，其有效质量为 m^{*}=ℏ^{2}/( \ ^{2}E/\ k ^{2 } )

这意味着晶体中的电子与真空中的自由电子不同，具有与其自身材料特性相关的有效质量。

m_{e}^{*}=ℏ^{2}/( \ ^{2}E/\ k ^{2})_{k=k_{mc}} ，k=k_{mc} 对应半导体导带 对于底电子来说，由于导带曲率呈上升趋势，0">\^{2}E/\k^{2}>0，因此导带内电子的有效质量为正。曲率价带的质量相反， \ ^ {2}E/\ k ^{2} ，因此价带顶部电子的有效质量为负。

由于半导体导带底部的电子和价带顶部的空穴成对出现，因此空态变化与电子k态相同，k_{h}=-k_{e}，则m_{h }^{*}=-ℏ^{ 2}/( \ ^{2}E/\ k ^{2})_{k=k_{mv}} ，k=k_{mv} 对应于顶部孔半导体价带，\ ^{2}E/\ k ^{2} 具有正的有效质量。

由于价带和导带的曲率不同，电子和空穴的有效质量也不同。 另外，晶体可能具有多个导带或价带，它们的曲率也可能随着波矢方向的变化而变化，因此可能同时存在多个电子或空穴的有效质量。 如下表所示，Si和Ge中存在多个电子和空穴的有效质量。

不同半导体材料在300K时的带隙宽度以及电子和空穴的有效质量。 m0 是电子的剩余质量

半导体中的电子需要同时响应内部势场和外部场的影响。 有效质量概括了半导体内部势场对电子的影响，使得在求解半导体中电子在作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场而求解半导体内部势场。的外力。 角色。