（知识点）化学实验基本公式-

且 h_{a}=bsinC=csinB

推导公式 ② S=\frac{1}{2}

将三角函数转化为边，可得公式 ③ s=\frac{abc}{4R} R 为三角形外接圆的半径

将边转化为三角函数，可得公式 ④ S=4R^

或者用两个角来表示第三个角S=4R^(A+B)

只保留一侧和其余两个角，公式 ⑤ S=\frac{1}{2}a^2\frac{}{sin(B+C)}

考察式②和余弦定理

S=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-(cosC)^2}

S=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2}

化简得到公式 ⑥ S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+bc)(a+cb)(c+ab)}}{4}

设 p=\frac{a+b+c}{2}

得到Heron公式 ⑦ S=\sqrt{p(pa)(pb)(pc)}

如果将公式⑥进一步展开，可以得到Heron公式的变形 S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-( a^4+b^4+c^4)}

另一种方法是回忆一个初中时经常考虑的问题。 给定三角形三边的长度和面积，求内切圆的半径r。

解决这个问题，只要将三角形的顶点连接到内心，将原来的三角形分成三个小三角形，然后分别表达三个小三角形的面积半圆的面积公式，然后相加就可以得到三角形的面积原来的三角形。

于是我们得到公式 ⑧ S=pr

如果利用正弦定理将所有半周转化为角度形式，则可得到公式⑧的变形

S=Rr(sinA+sinB+sinC)

再次考虑外接圆：

上图中，F和D分别是内切圆和外接圆的切点。 由于\AFI\sim\ ADI_{a}

因此\frac{r}{r_a}=\frac{AF}{AD}=\frac{pa}{p}

于是我们得到包含切圆半径的面积公式⑨ S=pr=(pa)r_a