读诵经典数学工作室开展“读数学经典，溯概念之源”系列研修活动

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工作室开展“读数学经典，溯源概念”系列培训活动，选取2022年版义务教育课程标准中的公理或定理，从《几何原理》命题原型入手，收集了国内外古今数学家的这一概念。 校对或修订过程历史数据，并根据我们使用的教科书进行研究。 了解历史变迁中数学概念的起源和演变，了解数学知识的背景、数学科学和数学教育的发展过程，对数学学科有更深刻的认识，滋养心灵，领略数学的真实之美，提高工作室成员的人文素质。

读懂数学经典·溯源概念（六）

追溯基本事实：存在且只有一条通过直线外一点与该直线平行的直线。

在初中数学图形与几何领域，学生需要学习和掌握九个基本事实：

基本事实 1.两点确定一条直线；

基本事实2.两点之间最短的线段；

基本事实 3、在同一平面内，存在且只有一条与过一点的已知直线垂直的直线；

基本事实 4、只有一条通过该直线外一点与该直线平行的直线；

基本事实 5. 如果两条直线与第三条直线相交，如果角度相等，则两条直线平行；反之，则两条直线平行。

基本事实 6. 两个边长相等且夹角相等的三角形；

基本事实 7. 内角和包边相等的两个三角形全等；

基本事实 8. 两个三边相等的三角形全等；

基本事实 9. 当两条直线被一组平行线截断时，所得到的相应线段成比例。

这里的基本事实是指人类经过长期反复实践发现的、不言而喻的、可以用来推导出其他定理的基本命题。 平面几何领域建立在这九个基本事实之上。 今天我们一起追溯基本事实4（平行公理）。

欧几里得在《几何原本》中提出了五个公设和五个公理，并据此建立了平面几何体系。

这五个公设适用于几何领域，而五个公理则适用于整个数学体系。 前四个公设表述简洁、易于理解，而第五个公设则相对复杂且不尽如人意。 首先，语言描述冗长，似乎与公理和公理应有的显而易见性、直观性和不证自明的真理程度有些差距。 其次，它的叙述还暗示直线可以“无限”延伸。 当时的古希腊人对于数学中的“无穷大”基本上采取了完全排斥的态度。 很多“事实”都是在有限范围内成立的，缺乏对无限范围的研究。 第三，欧几里得本人对其应用犹豫不决。 在《几何原本》中，只要第五公设可以省去，欧几里得就在相关证明中避免使用它，直到第一卷命题29才不得不使用它，并且再也没有直接使用过。 因此，在第五公设提出后的两千多年里，许多数学家都认为这是一个定理，并试图证明它，或考虑修改表达式，或考虑删除它。

据记载，第一个试图证明第五公设的人是古希腊数学家托勒密。 然而，很快有人指出，托勒密的证明依赖于一个假设：已知直线之外的一点可以且只能画一条与其平行的直线。 而且很快人们发现这个假设实际上等价于第五条公设。 此后的一千多年里，许多数学家仍然试图直接证明第五公设，但都以失败告终。 1795年，英国数学家普莱菲尔（J.）在其《几何原理》一书中使用了等价命题：“两条相交的直线不能与同一条直线平行”，后来发展为“在一个平面上，通过从直线之外的点，只能画出与已知直线平行的直线。” 这是目前高中教科书中使用的平行公理，通常称为普莱费尔公理。

公设 5：一条直线与同一平面内的另外两条直线相交。 如果直线同一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则两条直线无限延伸后将在这一侧相交。

使用我们的几何知识来分析这个假设。 如果两个内角和大于两个直角和，则另一边的两个内角和一定小于两个直角和。 因此，直线在另一侧相交。 如果两个内角之和等于两个直角且两条边之和不相交，即两条直线平行。 在我们的研究范围内，这显然是正确的。 而结论与“同边内角互补且两条直线平行”很相似，可以转化为“同边内角相等且两条直线平行”（Basic）事实 5）。 第五公设（或平行公理）是学习平面几何的基石之一。 如果研究范围不是绝对平面怎么办？

德国数学家高斯对第五公设也很感兴趣，并取得了一定的进展。 但出于保守和谨慎，高斯并没有公布自己的研究进展。 高斯的同学兼朋友博埃约也积极参与第五公设的证明，但没有取得任何进展。 但他的儿子约翰·波尔乔却取得了巨大的进步。 当他将研究进展提交给高斯审阅时，高斯回答道：“表扬你就是表扬我自己，我30年前就已经思考过这些……”愤怒的约翰·博约坚信高斯抄袭了他的成果。 十二年后，当罗巴切夫斯基发表他的研究结果时，约翰·博尔乔再次感到有人盗用了他的学术成果。 因此，他对数学界失去了信心，转向神学。

当俄罗斯数学家罗巴切夫斯基试图证明平行公理时，他发现之前的所有证明都无法逃脱循环论证的错误。 因此，他做出了假设：通过直线之外的一点，可以画出无数条与已知直线平行的直线。 如果这个假设被否定，那么平行公理就得到证明。 然而他不但没有否定这个命题，反而用它与欧几里得几何中与平行公理无关的其他命题展开推论，得到了逻辑上合理的新几何体系——非欧几何。 这就是后来人们所说的洛希几何。 然而，这不仅没有得到学术界的认可，他本人也受到了学术界的排斥。 再加上家庭的变故，他最宠爱且非常有才华的大儿子因治疗无效而死于肺结核，这让他非常悲伤。 他的身体也越来越病弱，眼睛也渐渐失明，他的余生就在忧郁、压抑中度过。 直到他去世多年后平行线的定义，人们才认识了这个新的知识领域——洛什几何（双曲几何）。

后来，高斯的学生、德国数学家黎曼假设，同一平面内的任意两条直线一定有交点（即通过直线外一点的线不能与已知直线平行），并且平面内的直线可以无限延长。 但总长度有限。 结合前四个公设和假设，创建了另一个几何场——黎曼几何（球面几何）。

欧几里得几何主要研究平面上几何图形的结构和度量性质，具有很强的逻辑性和严谨性。 欧几里得采用了公理化的方法，即通过一些默认成立的公理和公设来严格推导所有其他命题。 这种方法对于数学的发展具有重要意义。 洛彻几何学的主要工作是建立了与欧几里得的《几何原本》不同的完整的逻辑体系。 黎曼几何的核心是基于微分几何，建立了曲线坐标系下的微分方法。 罗氏几何的公理体系与欧几里德几何的公理体系的区别在于，欧几里德几何的平行公理改为：从直线外的一点开始，至少可以画出两条与这条直线平行的直线。 黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反：通过直线之外的点，直线不能与已知直线平行。 也就是说，黎曼几何规定同一平面内的任意两条直线都有公共点，黎曼几何不承认平行线的存在。 当然，还有一个假设：直线可以无限延伸，但其长度是有限的，可以类比为球体。

第五公设的另一个等价命题是三角形的内角和为180°。 在欧几里得几何中，这是事实，而在罗氏几何中，三角形的内角和小于180°，而在黎曼几何中，三角形的内角和大于180°。 罗氏几何和黎曼几何都是曲面几何。

事实上，非欧几何的基础——弯曲空间才是宇宙的真实空间。 宇宙并不是平坦的，而是不规则的凹凸不平。 由于曲率的变化，“平行线”相交也很常见。 因此，爱因斯坦将非欧几里得几何视为探索宇宙的重要工具。

关于作者

张宏斌，邯郸市第二十三中学教师，邯郸市骨干教师，邯郸市优秀教师，邯郸市初中数学兼职教研员，邯郸市初中委员邯郸市信息技术应用能力提升工程2.0专家组、第27届全国教师信息素养提升实践活动教学案例典型作品作者、河北省精品课程一等奖获得者、全国教师信息化一等奖获得者河北省综合创新教学案例、邯郸市初中数学教学技能大赛一等奖获得者。

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供稿：张宏斌