易损素数：任意一位数字改变都会让其变为合数

在“脆弱素数”中，改变任意一位数字都会使其成为合数（图片来源：）

素数是大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数。 1978年素数的概念，数学家发现了一个非常“脆弱”的素数，随意改变它的一位数就可以变成合数。 它们被称为“脆弱素数”。 最近，数学家又发现了更多“脆弱素数”，这个概念又被拓展了……

让我们看一下下面的数字，看看我们是否能发现它们有什么特别之处:,,。

您可能会注意到，它们都是素数（只能被它们本身和 1 整除），但这些数字的不寻常性质不仅仅如此。 如果我们选择这些数字中的任何一个进行更改，则新获得的数字将成为合数。 比如我们把数字中的1改成7，那么得到的数字就可以被7整除，改成9，就可以被3整除。

这些数字被称为“脆弱素数”，它们是一个相对较新的数学发现。 1978年，数学家默里·克拉姆金（ ）提出了这类素数的猜想，很快就得到了历史上发表论文最多的数学家保罗·埃尔多斯（Paul Erdős）的回答。 他不仅证明了脆弱素数确实存在，而且它们的数量是无限的。 后来，其他数学家进一步扩展了 Erdez 的成果，其中包括菲尔兹奖得主 Teru，她在 2011 年的一篇论文中证明了脆弱素数彼此“成比例”。 这意味着，随着素数本身变大，两个连续的脆弱素数之间的平均距离保持稳定。 也就是说，脆弱素数并没有变得越来越稀有。

在最近发表的两篇论文中，南卡罗来纳大学的迈克尔·菲拉塞塔 ( ) 将这一想法更进一步，提出了一类具有更复杂结构的脆弱素数。 受到埃尔德斯和陶哲轩工作的启发，他将无限长的前导零串想象为素数的一部分，就像数字 53 和……一样。 那么，如果你改变一个脆弱素数中无限数量的前导零，任何素数都会变成合数吗？ 菲拉塞塔假设这些数字存在，并将它们称为“广义脆弱素数”。 2020 年 11 月，他与研究生 共同撰写了一篇论文，探讨这些数字的本质。 这一结果得到了佐治亚大学数学教授保罗·波拉克的称赞。

迈克尔·费拉塞塔（ ）（图片来源：Zach White/of South）

显然，这样的数字比原来脆弱的素数更难找到。 波拉克说：“它是一个脆弱素数，但它不是广义上的脆弱素数，因为如果我们把……变成……，我们得到的不是一个合数，而是另一个素数。

事实上， 和 搜索了 1,000,000,000 以内的所有整数，并没有发现十进制系统中任何广义的易受攻击的素数。 不过，这并没有阻止他们继续寻找。

经过不懈的探索，他们证明这样的数字在十进制中确实是可能的，而且还会有无穷多。 此外，他们还证明了广义脆弱素数也是成比例的，就像陶哲轩的结论一样。 后来，在索斯威克的博士论文中，他在 2、9、11 和 31 进制上得到了相同的结果。这些发现给波拉克留下了深刻的印象，他说：“你可以对这些数字做出无限多种可能的改变，而且没有任何改变。”无论你做出什么改变，你总是会得到一个合数。”

证明过程主要依赖两个工具。 第一个称为覆盖同余（ ），由鄂尔多斯于 1950 年发明，用于解决数论中的一个问题。 说：“覆盖同余可以提供大量分组，同时确保每个正整数至少属于其中一个组。” 例如，如果我们将所有正整数除以 2，我们会得到两组：一组偶数和一组奇数。 这“涵盖”了所有正整数，并且同一组内的数字被认为是彼此“一致”的。 当涉及的数字数量非常多时，即面临寻找广义脆弱素数时，情况就变得更加复杂。 我们需要更多的组，大约是1个，并且这些组中的每个素数必须保证在添加任何数字（包括前面的零）后成为合数。

但为了找到广义的脆弱素数，这些数字中的任何数字在约简时也必须变成合数。 这是第二个工具，称为筛选。 筛选可以追溯到古希腊，它提供了一种计算、估计或设置满足某些属性的整数数量限制的方法。 和使用了一个筛分参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，即如果取出前述组中的素数并减少其中一个数字，就会有一定比例的素数成为合数。 换句话说，广义易损素数也是成比例的。

然后，在一月份的一篇论文中， 和他现在的研究生 Jacob 提出了一个更令人吃惊的想法：存在任意长的连续素数序列，其中每个数字都是广义的脆弱素数。 例如，可以找到 10 个连续的广义脆弱素数。 但这需要测试大量素数。 “这个数字可能比可观测宇宙中的原子数量还多，”费拉塞塔说。 他将这比作连续10次中彩票。 虽然概率极小，但还是有可能的。

和 分两个阶段证明了他们的定理。 首先，他们利用覆盖同余来证明存在一组无限多个素数，并且所有素数都是脆弱素数。 第二步，他们应用了 Shiu在2000年证明的一个定理：在所有素数中，存在任意多个连续的素数属于上述分组。 这可以进一步说明，这些连续的素数一定是广义的脆弱素数。

达特茅斯学院的卡尔·波默兰斯非常喜欢这些论文，以至于他称赞菲拉塞塔是应用覆盖同余的大师。 同时他还指出，用小数来表示数字可能很方便，但这并不符合数字的本质。 他认为还有更基本的数字表示方法，例如梅森素数的定义——表示为2p-1的素数p。

在前人研究的基础上，近期的一些相关论文提出了更多值得探讨的问题。 例如，每个基本系统中是否都存在广义的脆弱素数？ 当一个数字插入两个数字之间时，不仅仅是替换一个数字，是否有无限多个素数变成合数？

此外，波默兰斯提出了另一个有趣的问题：当数字接近无穷大时，所有素数都会变成（广义的）脆弱素数吗？ 这是否也意味着非（广义）脆弱素数的数量是有限的？ 虽然他和菲拉塞塔都没有想到办法来证明这个猜想。

波默兰斯说：“数学研究的美妙之处在于，你事先不知道自己是否能够解决一个具有挑战性的问题，或者这个问题是否有意义。就像你无法提前决定一样：今天我要去做一些有趣的事情。有价值的事情，因为你不知道数学研究中什么是有价值的，你只能不断地思考和尝试。”

编剧: 史蒂夫·纳迪斯

翻译：周志灿

审稿人：王宇

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