你能用函数的单调性来证明不等式吗？看完你就知道了

利用函数的单调性证明以下不等式：

(1)tanxx- x^3/3, x(0,/3); (2)2x/sinxx, x(0,/2);

(3)x-x^2/2 ln(1+x) x-x^2/(2(1+x)), x0。

解：（1）记住f(x)=tanx-(x-x^3/3)=tanx-x+x^3/3，【高等数学中有很多问题需要构造辅助函数】，

那么f’(x)=(secx)^2-1+x^2=(tanx)^2+x20，【即原函数为域内单调递增函数】

f(x) 在(0,/3) 上单调递增，并且f(x) 在x=0 处连续。 [你必须确保函数在你需要使用的端点处是连续的]

当x(0, /3)时，f(x)=tanx-(x- x^3/3)f(0)=0，

即tanxx- x^3/3, x(0,/3)。

（2）记住f(x)=sinx/x，【如果写f(x)=sinx-x，可以证明sinxx，但很难证明2x/sinx]

则f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2=(x-tanx)cosx/x^20, x(0, /2), [可记为g(x)=x- tanx,同样应用函数的单调性来证明x-tanx0,x(0,/2)】

f(x) 在(0, /2) 上单调递减，

而lim(x-0)(sinx/x)=1，【当端点处没有定义辅助函数时，必须求函数的极限】

当x(0, /2), 1sinx/xsin(/2)//2=2/时，

即2x/sinxx, x(0,/2)。

（3）记住f(x)=x-x^2/2-ln(1+x)，g(x)=x-x^2/(2(1+x))-ln(1+x)，那么当x0小时，

f’(x)=1-x-1/(1+x)=(-x^2)/(1+x)0,

g'(x)=1-(4x(1+x)-2x^2)/(4(1+x)^2)-1/(1+x)=x^2/(2(1+x) )^2)0。

f(x) 减小，g(x) 增大，并且f 和g 在x=0 处连续，

f(x)=x-x^2/2-ln(1+x)f(0)=0, g(x)=x-x^2/(2(1+x))-ln(1+x)g (0)0,

即x-x^2/2 ln(1+x) x-x^2/(2(1+x)), x0。

接下来，总结了使用函数单调性证明不等式的一般步骤。让我们记住不等式u(x)v(x), x(a,b)。

1.构造辅助函数f(x)=u(x)-v(x)。或(f(x)=u(x)/v(x), v(x)0)，

2. 求f'(x)。

(1) 如果f'(x)0，则f增大，f(x)必须在x=a处连续，且f(a)=0（或f(a)=1），否则无法证明。

那么f(x)=u(x)-v(x)f(a)=0 （或f(x)=u(x)/v(x)f(a)=1），

这样我们就有了u(x)v(x)，这已被证明。

(2) 如果f'(x)0，则f减小，f(x)必须在x=b处连续，且f(b)=0（或f(b)=1），否则无法证明。

那么f(x)=u(x)-v(x)f(b)=0 （或f(x)=u(x)/v(x)f(b)=1），

这样我们就有了u(x)v(x)，这已被证明。