cotx的导数不是(cscx)^2吗？

老黄在某平台发布了这样的视频作品。证明了余切cotx的导数为-(cscx)^2，并提供了三种证明方法。可见老黄是多么的勤奋，结果却被平台审核人员以答案错误、与主流答案不一致为由拒绝了。实在是太让人气愤了。

在没有其他常用导数的支持下，要求cotx的导数函数，只能借用导数的定义公式。

(cotx)'=lim(h-0)(cot(x+h)-cotx)/h，然后使用等于余弦和正弦商的余切将极限减小为：

lim(h-0)(cos(x+h)/sin(x+h)-cosx/sinx)/h，减去公分母和除分母得到：

lim(h-0)((sinx·cos(x+h)-sin(x+h)·cosx)/(sin(x+h)·sinx))/h，其中：

sinx·cos(x+h)-sin(x+h)·cosx=sin(x-(x+h))=sin(-h)=-sinh。

因此，极限等于-lim(h0) ((sinh )/(sin(x+h)sinx))/h。可以使用乘积极限公式将该极限分解为两个极限的乘积：

-lim(h0) (sinh )/hlim(h0) 1/(sin(x+h)sinx)，前面的极限是第一个重要的极限，结果等于1，下面limit 是连续函数的极限，直接代入h=0 即可求解：

(cotx)'=-1/(sin x)^2=-(cscx)^2。

其实，在我们找到cotx的导数之前，我们在教学中就已经找到了sinx和cosx的导数。因此，我们也可以利用商的求导规则来求cotx的导数。

即用分母的平方作为导数的分母，分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子作为导数的分子。

因此，由(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx。我们有

(cotx)'=(cosx/sinx)'=(-(sinx)^2-(cosx)^2)/(sinx)^2==-1/(sinx)^2=-(cscx)^2。

或者，我们也可以根据函数的倒数求导规则，利用tanx 的导数来求cotx 的导数。

也就是说，函数的倒数的导数等于原函数的平方除以原函数的导数的倒数。

因此，由(tanx)'=(secx)^2，我们可以得到

(cotx)'=(1/tanx)=-(tanx)/(tan x)^2=-(sec x)^2/(tan x)^2=-(cscx)^2。