从危机中寻找高数的探索方法，正割或余割正整数幂的不定积分公式

上次老黄在高等数学研究中遇到了危机。它是黄自己推导的正弦或余弦的正整数幂公式，与课本上给出的递推公式没有密切联系。于是，老黄心里着急，从课本上的递归公式推导出了最终的公式形式，证明课本上的递归公式和老黄自己推导的公式是一致的。这方面的详细介绍可以参见《老黄学高数》系列视频的第267讲。

同时，这也给了老黄一些启发。教科书上还有正割或余割的递归公式。为什么不推导出它们的最终公式形式呢？一是可以熟练掌握各种计算积分的方法，二是得到的公式以后可以直接使用，一石二鸟。这其实也是一种学习方法。它不仅适用于高等数学，也适用于基础数学和其他学科。

去做就对了。老黄先推导正割正整数幂的积分公式，看看结果是什么。这里有两个步骤。第一步是推导课本上的递归公式。因为课本只给出了一个公式，并没有教黄如何推导这个公式。第二步是根据递归公式推导最终的公式。

探索1：求In=(secx)^ndx, n2。

用文字描述推导过程是相当麻烦的。黄刚上传了照片。希望你能理解清楚。如果有什么不明白的地方，欢迎回复和提问。

公式需要分类讨论，即n为奇数时和n为偶数时。它们的公式形式看起来非常相似，只是ln|secx+tanx| 之间的区别。第一项中的tan和tan，以及求和公式中上标m和m-1的差。但实际上，当代入具体指数n时，两个公式还是存在很大差异的。

注意，当n=1时，式（1）中留下的第一项是secxdx=ln|secx+tanx|+C。当n=2时，(secx)^2dx=tanx，这也是公式( 2) 上面第一项都是各自的特例。

用这个公式做两个例子。例1求正割五次方的不定积分：

示例1：求(secx)^5dx。

例2求割线6次方不定积分：

示例2：求(secx)^6dx。

结果老黄已经试验过了。检查过程相当减压。因为你无法想象，为了确保公式正确，这是一个多么烧脑的探索过程。

让我们探讨一下余割正整数幂的积分公式。不要重复上面极其麻烦的过程，而是使用公式：sec(x+/2)=-cscx。将其转化为正割的正整数幂问题。不过因为中间步骤比较繁琐，所以老黄直接跳过了。涉及的知识比较基础，可以自己完成。

探索2：求(cscx)^ndx, n2。

可以看出，得到的公式与公式（1）和（2）只有两点不同。一是项的符号相反，二是所有secx都变成cscx，所有tanx也变成cotx。其他的完全一样。

这里还有两个例子。例3求余割四次方的不定积分。

示例3：求(cscx)^4dx。

例4求余割三次方的不定积分。

示例4：求(cscx)^3dx。

如果你觉得黄取的指数太小，造成重合，那么你可以取一些大一点的数，仔细核对一下，以免出错。

最后一项练习：

练习：求((secx)^21+(cscx)^22)dx。