高尔顿的数学实验：平均数与中位数的较量

（一）

1906 年，伟大的科学家、令人厌恶的优生学家高尔顿 () 参加英格兰西部年度牲畜展览会，并做了一个即兴的数学实验。

在集市上闲逛时，他偶然发现了一场猜重量比赛，人们猜测一头公牛的重量，猜得最好的人将获得大奖。

高尔顿公开鄙视普通民众的愚蠢。他认为只有专业人士才能做出准确的估计。787 名猜测者中专业人士很少。为了反映大众的无知，他计算了所有猜测的平均值（而不是当时统计学家常用的中位数）：1,197 磅。当他得知实际重量为 1,198 磅时，他大吃一惊。

在当今世界，我们看到的只是平均值：纽约四月份的平均气温为52华氏度；库里场均得分为30分……只有在某些统计数据中（美国家庭的年收入中位数为51,939美元），才会出现中位数。

那么中位数是如何消失的？平均值又是如何成为当今世界上最受欢迎的数字的？

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（二）

大家所熟知的平均数（）其实就是数学里的“算术平均数”，即所有数据的总和除以数据个数。算术平均数中的“平均”一词，源于拉丁文“中间”的意思。平均数的概念最早是由希腊数学家毕达哥拉斯提出的。

毕达哥拉斯时代的中位数不具有代表性。它仅指三个数字中间的数字，该数字必须与两端的数字“相等”。这三个数字可以是等距的（例如 2、4、6），也可以是等比的（例如 1、10、100）。

花费十年时间探索均值起源的统计学家表示，与现代人依靠大量数据进行计算不同，早期的科学测量非常不准确，科学家需要利用理论从多个数据中选出最佳的值。

古希腊天文学家托勒密通过平均数，从极少数的观测结果中，选定了 31'20 作为月球的角直径。今天我们知道，月球的角直径在 29'20 到 34'6 之间变化，具体取决于您所在的位置。

在英语中，该术语于 1500 年左右开始出现，指船舶或货物受损造成的经济损失。如果船员因受损而不得不扔掉一些货物以减轻船舶重量，投资者会使用平均值来计算总体经济损失。渐渐地，这两个概念融合成了我们通常所说的平均值。

多年后，科学家开始使用中心指标来描述一组数据。但最先登上历史舞台的不是平均值或中位数，而是中位数。

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（三）

科学工具通常是为了解决特定学科内的特定问题而创建的。在寻找集中量的过程中，人们想要解决的问题是导航的地理测量。

波斯学者比鲁尼

已知最早使用中心数的人之一是 11 世纪的波斯知识巨人比鲁尼。他试图测量古城加兹尼的经度。那个时代的人们在进行一组测量时，会删除中间的数据，并取最大值和最小值的算术平均值。今天我们称这个数字为中位数（）。

人们发现，中位数在 17 和 18 世纪仍然很流行。牛顿和其他航海家使用中位数来计算地理位置。但近几个世纪以来，在一个以平均值为主导的世界里，中位数已经消失。

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（四）

到 19 世纪初，算术平均值已成为一种常用的重要度量。1809 年，当时最聪明（也是最暴躁）的数学家高斯写道：

如果在相同情况下以相同方式进行的几次直接观察中选择一个数字，则这些数字的算术平均值是最接近真实值的数。这一假设传统上被视为公理。

这究竟是怎么回事？

史书上没有明确的记载，但据研究发现，算术平均值可能是大航海时代数学家们最早用来测量磁偏角（磁北方向与真北方向的夹角）的方法。

直到 16 世纪末，大多数科学家都使用某种算法来找到测量中的最佳值。但在 1580 年，一种新的算法被用来“组合”八个数据点，宣布偏角在 11°15' 和 11°20' 之间。虽然没有明确记录，但他可能使用了算术平均值。

1635 年，英国天文学家亨利成为第一个使用平均值作为中心量的人。一天早上，他测量的赤纬为 11°，当天下午他测量的赤纬为 11°32'。然后他写道：

“如果我们取算术平均值，我们大概就能确定正确的测量值是11°16'。”

这可能是人类在使用平均值估计真实值的道路上迈出的第一步。

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（五）

中位数在数学中出现的时间与平均数大致相同。1599 年，一位数学家在一份记录中首次推荐了中位数。

“许多支箭都射向一个标记，然后把标记去掉。想要找出标记原来位于何处的人可能会想到这样的方法。他应该找到箭最集中的地方：在那么多的观察结果中算术平均数，最中心的地方最接近真实值。”

在 19 世纪，中位数仍然是数据分析中不可或缺的一部分。在较小的数据集中计算中位数更容易。当时的人们认为中位数比平均数更具有普遍性。

高尔顿也是中位数的坚定支持者。()

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（六）

然而，由于平均值的独特统计性质及其与正态分布的关系，中位数在受欢迎程度上一直受到平均值的压制。

很多时候，大量的测量数据会呈现出一种“正态分布”（ ），比如人的身高、智商、年平均气温等数据，都会呈现出中间高、两端低的“钟形曲线”形式分布。

当数据服从正态分布时，均值往往位于钟形曲线的最高点，而大部分数据则会在中位数附近。通过标准差，我们也可以算出距离均值一定距离以内的数据个数。

标准差是数据中数值与均值之间距离平方的均值的平方根，这使得均值在分析实验数据和统计推断中具有重要价值。由于没有了这一特性，中位数在科学和统计用途上逐渐失去了光彩。

计算机的出现也使平均值更加流行。编写计算机程序来计算平均值比编写程序来计算中位数要容易得多。以至于在 Excel 中，计算某些数据的中位数需要付出很多努力。渐渐地，平均值成为了最为人熟知的，但不一定是最有代表性的值。

卑鄙先生，中庸先生，时尚先生。

由于平均值很容易受到极端值的影响，因此在许多情况下，中位数是帮助找到分布中心的最佳数字。许多分析师认为，不加区别地使用平均值会削弱我们对定量信息的理解。

如果你回想一下最近读到的有关平均房价、人均收入等的数据，你会发现中位数是反映总体情况的最有代表性的数值。最富有的 1% 可以极大地改变平均数的位置。为此，美国人口普查局决定使用中位数来衡量美国家庭的年收入。

中位数也不太容易受到脏数据的影响，并且随着统计学家处理越来越多的来自互联网的数据，当工作人员遇到不准确的数据或在打字时添加了多余的零时，中位数变得更有用。

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（七）

随着数据收集和分析在我们的日常生活中变得越来越重要，我们必须重新思考用来表示这些数字的核心指标。在理想情况下，分析师会结合使用平均值、中位数和众数以及数据的图形表示。

但我们生活在一个精力有限、时间稀缺的社会，如果只能选择一个数字，我们应该选择中位数。

中位数与均值之间的选择意义重大。选择均值很容易导致心理学家做出错误诊断，金融家误判市场的发展。均值统治了人类世界几百年，也许是时候做出一些改变了。