可爱的面积问题（二十）：圆形的阴影部分面积

大家好，我是王老师。 今天我们继续聊聊圆阴影部分面积的相关问题。 今天我们把同类型的题一起总结了一下，来看一些例子。

观察图形，知道它是一个等边三角形。 以三角形各角的顶点为圆心，以三角形各边长的一半为半径，画三个扇形，求这三个扇形的面积。 总数是多少？ 因为本题的三个扇形都以三角形的三个角的顶点为圆心圆形面积，那么三角形的角有什么特点呢？

我们知道三角形的内角和是180度，所以这三个扇形的内角和是180度。 又因为这是一个等边三角形，每条边的长度都相等，而且一半边长也相等，所以这三个扇形可以组合成一个半圆。 题中要求的三个阴影面积之和，其实就是半圆的面积，即12.56平方厘米。

让我们看看下一个相同类型的示例问题。 也是以三角形的三个顶点为圆心，半径为一厘米画的三个圆。 与三角形相交的部分是阴影部分。 求阴影部分的面积。

根据题中已知条件，我们知道三个圆的半径相等，因此三个圆也相等。 又因为这三个圆以三角形三个角的顶点为圆心，而三角形的内角和为180度，所以当三个圆的三个阴影部分组合在一起时，就会形成一个半圆。 形状。

其实我们要求的阴影部分的面积就是半圆的面积。 我们已经知道圆的半径是一厘米，所以最终计算出半圆的面积是1.57平方厘米。

让我们看看下一组类型的问题。 这个问题的形式应该很熟悉。 我昨天学了同样的形状，但昨天我学的是两个扇形相交后的剩余区域。 今天的形状就是求这两个扇形相交的面积。

右图用正方形的面积减去扇形的面积，然后乘以二即可求出两个阴影部分的面积。

怎么解决今天的问题呢？ 知道这个扇形是以正方形的角为中心、边长为半径绘制的，而正方形是中心对称图形，我们就可以将两个扇形相交的对角线连接起来。 这时，如果你再看图，你会发现，用扇形的面积减去三角形的面积就可以找到阴影部分面积的一半。

因为正方形的四个角都是直角，所以扇形的圆心角是九十度，这就是扇形的面积。 四分之一圆的面积，而这个三角形也是直角三角形。 它的底和高都是正方形的边长。 因此，最终查出阴影部分面积的一半为28.5平方厘米，阴影部分的面积为五十七平方厘米。

昨天的研究中，还使用了旋转重组的方法。 最后用矩形的面积减去半圆的面积，就得到阴影部分的面积。 今天的问题我们还可以继续使用这个方法吗？ 让我们来看看。

翻转并重新组合图表后，您将得到这样的图片。 观察图形就知道，用半圆的面积减去三角形的面积就可以求出阴影部分的面积。 半圆的半径已知，三角形的底和其对应的高分别是圆的直径和半径，所以阴影部分的最终面积为57平方厘米。

升级刚才的图表。 该图也是六年级阴影区域常见的题型。 刚才我在解花瓣问题的时候，用扇形面积减去三角形面积就得到了阴影部分面积的一半。 这个问题有四个这样的花瓣。 也就是说，用刚才的方法求出阴影部分面积的一半，然后乘以八，就得到了阴影部分的总面积。 结果是五十七平方厘米。

有同学会问这个形状可以旋转重新组合吗？ 当然是可能的，并且有两种方法可以重新组合这个图形。

· 我们先来看第一种。 通过前面的学习，我们知道一片花瓣可以组合成半圆形和三角形。 现在有了两个相同的花瓣，它可以组合成一个圆形、两个相同的三角形和四个花瓣。 有两个相同的圆形和四个相同的三角形。

· 我们来看第二种重组方式。 首先，连接正方形的对角线并形成一组半圆。 此时得到的形状与第一个半圆相同。 这个形状一共有四个。 通过组装这些半圆，得到的图形是两个圆形和四个三角形。

事实上，无论采用哪种组合方式，最终的数字都是一样的。 最后用一组圆的面积减去中间两个三角形的面积，再乘以二，求出阴影部分的面积为57平方厘米。