（知识点）平面直角坐标系研究任意角的三角函数

初等三角函数。 是锐角三角函数。 他们以锐角作为自变量。 取比值作为函数值。 下面我们可以利用平面直角坐标系来研究任意角度的三角函数。 参见图 4-10。 设α为任意角度。 两种方法的终止边上的任意点 p。 （端点除外）。 坐标是（x，y）。 到原点的距离为r(r＝√|x|+|y|＝√x+y＞0

1: y÷r 的比率称为 α 的正弦。 记为sinα

Sinα＝y/r

x/r 之比称为 α 的余弦，写作 cosα

Cosα＝x/r

y/x 之比称为 x 的正切，表示为 tanα

Tanα＝y/x

根据相似三角形的知识，对于一定的角α。 这三个比例。 (如果有的话)不会随着α终止边上点p的位置的变化而变化。

当α=π/2+kπ(k∈Z)时，α末端侧任意点P在y轴上的横坐标都等于0，因此tanα=y/x没有意义。 另外，对于一定的角度α，上述三个比值都是唯一且确定的。 也就是说，正弦、余弦、正切都是以角度为自变量、以比值为函数值的函数。 图 4-11。 我们来看一下正弦和余弦正切这三个三角函数的几何表示。

如图4-12所示

假设任意角α的顶点在原点O，初边与()的非负半轴重合，过P作垂直于x轴的垂线，以竖脚M作切线通过点 A(1,0) 到单位圆。 该切线必须平行于 y 轴。 设其为角α的终止边（当α为第一个第四象限角时）或其反向延伸。 （当α为第二象限角和第三象限角时）交于点T

显然，线段om的长度为|x|，线段mp的长度为|x|。 |y|

它们只能取非负值。

当角α的终止边不在坐标轴上时，我们可以将om和mp视为有方向的线段。

如果x>0，则认为Om与x同向，规定此时om为正值x。 如果 x 小于零，则将 om 视为与 x 轴相反。 规定此时om为负值x。 在此规定下，无论哪种情况，om都等于x。 如果 y 大于零，则 mp 被视为与 y 轴方向相同。 规定此时mp具有完整性vi。 规定此时mp为正值y。 如果 y 小于零，则 mp 被视为与 y 轴相反。 指定此时mp具有负值y。 在此规定下，无论哪种情况 mp 都等于 y。

因此，这种对抗中具有方向的线段称为有向线段。 根据正弦函数和余弦函数的定义，有。

Sinα＝y/r＝y/1＝y＝MP，

Cosα=x/r=x/1=x=OM

这两条与单位圆相关的有向线段mp om 分别称为角度α的正弦和余弦。

同样，我们也可以将OA和AT视为有向线段。 然后根据正切函数的定义和相似三角形的知识，我们有。 tanα＝y/x＝MP/OM＝AT

与单位圆相关的这条有向线段AT称为角度α的切线。

当α角的端边在x轴上时，正弦切线分别成为一个点。当α角的端边在y轴上时，余弦成为一个点，且正切不存在

现在让我们将代表正切余弦的三个比率分开。 通过交换 y/x、x/r 和 y/r 的前项和后项，我们得到另外三个比率。 x/y 之比称为 α 的余切，记作 cotα，

r/x 的比率称为正割任意角的三角函数，表示为 secα，

r/y 之比称为 α 的余割，表示为 cscα，

可见，当α=kπ(k∈Z)时，α的端边在x轴上，端边任意点P的纵坐标y等于0，所以cotα=x/y而 cscα=r/y 的值都不存在。 当α=π/2+kπ(k∈Z)时，就像tanα无意义一样，secα=r/x的值也不存在。 另外，对于确定的角度α，比值x/y、r/x、r/y分别为确定的实数，因此余切、正割、余割也以角度作为自变量。 其值为比率的函数。 以上六个函数统称为三角函数。

因为角度集合和实数集合之间可以建立一一对应关系。 三角函数可以被认为是以实数作为自变量的函数。 在弧度系统中，正弦余弦正切函数的定义域如下表所示。

三角函数

三角函数。

领域

正弦α

余弦α

坦α

{α|α≠π/2+kπ,k∈Z}

由三角函数的定义。 以及各个象限内点坐标的符号，我们可以知道。

正弦值。 对于第一和第二象限角，y/r 为正。 (y>0,r>0)，第三、第四象限角为负。 y＜0,r＞0

余弦值。 x/r 对于前四个象限角为正。 (x>0,r>0)，第二、第三象限角为负。 (x<0,r>0)

第一、第三象限角的正切 y/x 为正 xy，符号相同。 对于第二个第四象限角，xy 符号为负。

您还可以了解三角函数的定义。 对于具有相同端边的角度，同一个三角函数的值是相等的，从而得到一组公式。

Sin(α+k*360°)＝sinα

Cos(α+k*360°)＝cosα

Tan(α+k*360°)=tanα 其中 k∈Z

您可以将任意角度的三角函数值转换为0°到360°角度的三角函数值。