物理学家伽利略谈自然数的问题及解决办法！

1.伽利略的疑虑

物理学家伽利略·伽利雷曾经问过这样的问题。 我们知道，任何偶数都可以写成2n的形式（n是自然数），因此对于任何自然数n，我们可以将它与数字2相乘，得到偶数2n。 另外，如果有两个不同的自然数n和m，则根据上述方法可以得到两个不同的偶数2n和2m。 也就是说，两个不同的自然数不可能对应同一个偶数。 现在的问题是，通过这种方式，我们可以将自然数和偶数进行一一对应，同时证明自然数似乎有多少个偶数。 但直觉告诉我们，偶数只是自然数的一部分，或者只是自然数的一半，因为还有另一半是奇数。

伽利略思考了这个问题很长时间，但未能给出令人满意的结果。 在接下来的两百年里，数学家总是以“比任何数字都大”的方式来处理涉及无穷大的问题。

2.康托尔的回答

19世纪0是不是自然数，数学家康托尔提出了这样的想法：如果我们承认自然数确实和偶数一样多，会产生什么影响？

要承认这一事实，我们必须首先从有限数量的事物开始。 例如，篮子里有五个苹果，书架上有五本书。 我们的第一反应是他们的数字都是5，但是我们忽略了一个过程。 我们用阿拉伯数字5来表达这个结论。 然而，一旦我们停止使用任何一种计数方法（例如阿拉伯数字、罗马数字等），我们的头脑仍然同意它们是相同的，因为五个苹果和五本书可以有不同的标记，例如用大写字母ABCDE代表五个苹果，用小写字母abcde代表五本书，然后让每个大写字母对应对应的小写字母，这样五个苹果和五本书是同一个数字。

而且，对于五个苹果和七本书来说，可以肯定它们不是同一个数字。 进一步来说，只要所研究的问题中事物的数量是某个自然数，类似于上面的标注方法，我们总能得出谁多谁少的结论。 然而，语言和文字中使用的字母和符号总是有限的（例如英语有26个字母，俄语有33个字母，日语有71个假名），但数量稍多一点也无能为力事物作为一个整体，因此数字发挥着作用。 一个非常重要的作用，其中自然数的引入帮助我们自动完成这样一个一对一的标注过程。

接下来考虑这个事实。 如果提前有100个人，旁边有一堆书，但是不知道有多少，现在让每个人拿一本书，最终都读完了，没有人会拿走两本书，没有人会没有一本书，那么一定有100本书，所以不需要一一数。

如果不知道有多少人实现了这一目标，当然我们仍然不知道有多少本书，但我们仍然可以确定有多少本书就有多少人，即使我们对这一目标一无所知。他们的数量。 这个事实说明，这群人和整本书的数字是一样的。

简而言之，只要所研究的问题中的事物数量是有限的，那么就可以建立一一对应关系来确定谁多谁少，而无需知道它们有多少、是什么。 这个结论给我们一个启示：对于涉及无限多个事物的两个整体，我们是否可以用类似的方法来区分这两个整体所包含的事物数量是否存在差异？ 但需要注意的是，在由无限多个事物组成的整体中，不能再使用“量”或“数”的概念。

康托尔给出了满意的结果。 他认为任何具有无限个事物的整体都可以用“势”（“基数”）来描述这个整体所包含的事物的数量。 当然，对于有限数量的整体，势就是它所包含的事物的数量。 其次，对于两个整体A和B，只要A和B之间能够建立一一对应，无论A和B有多少个（即使有无穷多个），我们都认为它们有相同的潜力。 。 例如，如果A全是自然数，B全是偶数，则根据开头给出的相应方法，A和B具有相同的势。 这自然解决了伽利略提出的问题，但却打破了我们的常识理解，即欧几里得在《几何原理》开头提出的规定：整体大于部分。

对于集合中元素的“个数”，如果能用具体的数字来表示，则称该集合是有限集合。 相反，如果找不到一个具体的数来表达这个“数”，或者集合中元素的“数”大于任何自然数，则该集合称为无限集。 有限集在组合学中得到了广泛的研究。 对于无限集合，根据康托尔的思想，无限集合中元素的“数量”称为“势”。 如果两个无限集合 A 和 B 之间存在一对一映射（单射和满射），则这两个集合具有相同的势，称为等价。

对于所有偶数的集合，它显然具有与所有自然数的集合相同的潜力。 当然，有许多集合具有与所有自然数的集合相同的潜力。 例如，有多少个自然数就有多少个分数，有多少个自然数就有多少个有理数。 因此，所有自然数集合的势被定义为“Alev 零”。 这个名字来源于希伯来字母“Aleph”，原因可能是数学家康托尔是犹太人。 如果无限集的势 Alev 为零，则称为可数集。 否则，如果无限集的势不为零，则称为不可数集。 除了阿列夫零之外，康托还为我们提供了阿列夫一、阿列夫二、阿列夫三等无限势，同时他得出了一个重要结论：任意集合的势 幂集的势（即由其所有子集组成的集合）大于该集合的潜力。 这表明不存在最大趋势。

此外，康托尔首先看到了一个自然而重要的问题：阿莱夫零和阿莱夫一之间是否存在中间势？ 他没有解决问题，但他相信没有这样的中间立场。 这就是著名的康托连续统假说。 这个假设现在终于得到澄清。 它可以用作公理并且独立于集合论中的其他公理。

3. 希尔伯特酒店

1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特将康托的连续统假说列为20世纪有待解决的23个重要数学问题之首，他本人还讲述了一个有趣的故事。

有一家酒店，我们称之为希尔伯特酒店。 第一天有客人来要求入住，老板说已经满了，但老板想出了一个办法。 首先，他让1号房间的客人搬出去，让外面等候的客人入住1号房间。然后让2号房间的客人搬出去，让1号房间的客人搬到2号房间，然后让客人进来。 3号房间搬出去，让2号房间的客人搬进3号房间。这样，每个客人最终都会拥有自己的房间（包括新客人）。

第二天，又来了一些游客，总共大约有100人。 酒店老板说已经客满了，但是聪明的老板又想出了另一个办法。 安排第一位访客先入住，与第一天入住的客人安排相同。 第一个游客入住后，安排第二个游客入住，安排与第一个游客的安排相同。 最后，第三个、第四个和最后一个游客被安排入住。第三天，很多游客要求入住。 无法确定客人人数。 总是有无数的人。 老板说酒店已经订满了，但是他有办法让每个客人都有自己的房间。

我们暂时不关心老板最后的安排。 这个故事被数学家称为希尔伯特旅馆，他通过这个故事引入了数学中“可数无穷”的概念。 结合现代图论，产生了网络集线器无阻塞的观点。

4. 尾声

自从康托尔提出连续统假说以来，数学家们就一直在研究这个问题。 但很快人们就发现了康托集合论中的悖论。 为了消除这些悖论，他们开始公理化地对待集合论，并试图建立几个集合论公理化体系。 人们通常使用和建立的ZFC公理系统。 公理化后，悖论基本可以消除。 1938年，哥德尔证明了连续统假设和ZFC公理系统并不矛盾，两者是协调的。 1963年，美国数学家科恩证明连续统假设和ZFC公理系统是相互独立的，无法确定它们的真假。 这样，在ZFC公理系统中，就无法判断连续统假设是真是假。 这是 20 世纪 60 年代集合论最大的发展之一。 正如帕斯卡所比喻的那样：人只是漂浮在无限与虚无两个无底深渊之间的一艘小船。 我们总想追求某种确定性，却永远无法把握。 如果我们不小心的话，我们的一生就会失去。 地基将会倒塌，下面就是万丈深渊。 在数学中，人永远是探索者，不存在“终结者”。