初中数学：有理数（思维导图）知识要点

【思维导图】

【知识要点】

知识点-有理数基本概念

正数：大于0的数称为正数。

负数：正数前面带“-”号的数称为负数。

有理数的分类（两种）（见思维导图）

指定原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。

任何有理数都可以用数轴上的点来表示。

【注意】

数轴是一条可以无限延伸成两段的直线。 数轴上原点、正方向、单位长度的选择必须根据实际情况确定。

仅符号不同的两个数称为互斥数。 （绝对值相等、符号不同的两个数称为互斥数。）

绝对值的概念：数轴上表示a的数与原点的距离称为数a的绝对值。

绝对值的含义：

正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值就是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。）

1）数轴上两点所表示的数字中，右边的总是比左边的大。

2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3）两个负数比较时，绝对值较大的较小。

4）两个正数比较时，绝对值较大的一个较大。

常用方法：数轴比较法、差比较法、商比较法、绝对值比较法等。

知识点2：有理数的四种算术运算

有理数的加法规则：（先确定符号，再计算绝对值）

1、两个同号数相加，取相同符号，并求绝对值相加；

2、两个符号不同的数相加且绝对值不相等时，取绝对值较大的被加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3、两个互为相反数的和为0； （如果两个数之和为0，则这两个数互为相反数）

4. 如果你把一个数字加0，你仍然得到这个数字。

有理数加法定律：

加法交换律：两个数相加时，被加数的位置交换，和不变。

加法结合律：三个数相加，先将前两个数相加，或者先将后两个数相加，和不变。

有理数的减法规则：

减去一个数等于加上它的相反数。现在

注意：有两个变化：减号变成了加号； 减数变成它的相反数。

规则：利用减法规则，将加减混合运算统一为加法。

步骤：（1）将减法转化为加法；

(2) 省略括号和加号；

(3)利用加法定律使计算变得简单；

(4)利用有理数加法法则进行计算。

注意：当使用加法律时，可以按如下步骤进行：

(1) 编号相同的先合并；

（2）将分母相同的分数或者易除的分数合并起来；

(3) 两个互为相反数的组合；

(4) 将两个可以形成整数的数字组合起来；

（5）带分数一般化成假分数或分为整数和分数，然后分别相加。

有理数相乘的规则：

(1)两个数相乘，符号相同的数为正，符号不同的数为负，绝对值相乘。

(2)任何数乘以0都会得到0。

多个有理数相乘的规则和规则：

0以外的几个数相乘，负因数为奇数时，乘积为负；

当负因子的个数为偶数时，乘积为正。

确定符号后，将因子的绝对值相乘。

(2)几个数相乘时，其中一个因数为0，乘积为0； 反之，如果乘积为 0，则至少有一个因子为 0。

注意：带分数乘以带分数时，通常先将带分数转化为假分数，然后再乘以分数。

乘法交换律：两个数相乘时，因子的位置交换，乘积相等。

乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或先乘后两个数，且乘积相等。

乘法分配律：一个数乘以两个数之和，相当于该数乘以两个数，然后将乘积相加。

有理数除法规则：

除以非 0 的数字相当于乘以该数字的倒数。

（2）两个数相除（被除数不为0）时，符号相同的数为正，符号不同的数为负，绝对值相除。

将 0 除以任何非 0 的数字，就会得到 0。

步骤：先确定商的符号，然后计算商的绝对值。

运算顺序：从左到右，将除法转化为乘法，进行归约计算。

（注：带分数先化成假分数进行计算）

运算顺序：先乘除，后加减。 如果有括号，则先计算括号内的值。

注意：除法一般先转化为乘法，带分数转化为假分数，适当运用算术定律。

知识点 有理数的三次方

当底数是分数时，先用括号将底数括起来，然后在右上角写下指数。 指数应该写得更小。

求幂的规则：

负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。

任何正数的正幂都是正数，0 的任何正整数幂都是 0。

如何计算有理数的幂：

根据幂的符号规则确定结果的符号。 计算结果的绝对值。

运算顺序：（1）先乘幂，再乘除，最后加减；

(2)同级操作按从左到右的顺序进行；

（3）如果有括号，则先统计括号内的项目有理数的定义，按照小括号、方括号、大括号的顺序。

实际问题中，“四舍五入”得到的数或近似数都是近似数。 （近似数小数点后最后一位是0，0不能去掉。）

近似数字从左侧第一个非零数字开始到最后一个数字。 所有数字都是该数字的有效数字。 如果一个近似数有几个有效数字，则称该近似数保留了几个有效数字。

精度：表示近似数与精确数的接近程度。 据说近似数字精确到四舍五入后的数字。

【试题类型】

试题类型-有理数概念理解

【解题思路】理解有理数的定义，掌握并正确理解有理数的分类是解决问题的关键。

测试题类型 2 使用数轴上的点来表示有理数

【解题思路】在数轴上，原点左边的点代表负数，原点右边的点代表正数，右边的点代表比左边的点大的数。

测试题类型 3：求一个数的相反数

【解题思路】理解相反数的概念

试题类型4：求一个数的绝对值

【解题思路】正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值就是0。

试题类型五：比较有理数的大小

【解题思路】比较有理数大小的规则：①所有正数都大于0； ② 所有负数都小于0； ③ 正数大于所有负数； ④ 两个负数之间，绝对值较大者的值较小。

试题类型六：有理数加减乘除混合运算

【解题思路】对于有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序和各个运算规则是解题的关键。

试题类型七科学计数法