概率密度：若存在非负可积函数（x）

若存在非负可积函数f(x)，则随机变量X在任意区间(a,b]内取值的概率可表示为

图1

那么X称为连续随机变量，f(x)是X的概率密度函数，简称概率密度或密度。

对f(x)的进一步理解：

图2

概率密度函数 f(x) 的值

如果把概率理解为质量，f(x)就相当于物理学中的线密度。

图3

图4

从上面的分析可以得出：

1：概率密度是概率的变化率；

2：可以通过对一段时间内的概率密度进行积分来获得概率。

那么，你能在现实中找到一个具体的例子来理解概率密度的概念吗？

以目标练习为例：

从图4可以看出，分布函数是一个概率。 那么，概率密度到底是多少呢？

我们假设有很多人针对同一个目标进行设计，并且每次都会计算命中次数。 那么，随时间变化的命中数就是分布函数F(x)； 为了匹配概率密度函数f(x)对应，我们假设每个时刻开枪的人数随时间变化，因此每个时刻命中目标的次数也会变化。 那么，这个数应该等于概率密度函数f(x)。 由此可以看出，一段时间内的总点击次数，即概率F(x)，与这段时间内每个时刻的点击次数，即概率密度函数f有关（X） 。

上面的例子也表明，F(x)最初是用来表达概率的，是一个不确定事件，但在这个例子中，它具有一些确定性的性质：它会随着时间的推移而增加（对f(t)进行积分）。 例如，一段时间后，F(x)=0.8，表示不同的人射击一段时间后，假设总共开了10000枪，其中击中了8000枪。

同时，由于概率密度函数必须满足条件

图5

这意味着每个射手的命中率不能为0，否则上图中的点数永远不会为1； 而这个命中率并不是f(x)密度，因为f(x)代表的是每个人在某个时刻的投篮次数； 不是F(x)，因为F(x)代表一段时间内所有出手的人的总命中率。 因此，我们只能认为，每个出手的人都有一个我们不知道的命中率，而且这个命中率应该是相同的，因为f(x)只能代表每个人在某一时刻的命中次数的变化，而不能那么就代表了每个人变化的命中率。

从上面的分析可以看出，由于每个人的射击都可以看作是一次随机尝试，因此

概率密度函数 f(x) 似乎被认为是随机试验的数量。 这种随机试验有击中目标的概率。

由于概率密度函数是针对连续随机变量的，为了模拟这个实数，我们可以假设目标目标位于星系中心，所有参与射击的人都可以站在太空中的任何位置命中率一样。 射击是针对目标进行的，这些数字会随着时间的推移而变化。 因为空间无限大，所以人的数量可以是无限的，大致相当于一个连续的实数。

f(x)是否可以认为是同一个人射击，但是这个人的命中率随时间变化，即f(x)？ 那么F(x)代表的是这个人在一段时间内出手后的总命中率？ 看起来有可能，但是我们知道概率一定小于1，并且概率密度可以无穷大（对应无穷小的积分区间）； 而概率是一种度量，即命中率f(x)包括有理数和无理数，但命中率似乎只能是有理数。 上一个例子中的人数看起来是一个有理数，但是由于空间无限大，我们似乎可以认为这个数可以包括无理数，因为可能没有人能够数出此时的人数某个时刻。

至于图3最后一句是什么意思，我不太明白，欢迎讨论。