数学中的质数是什么意思？一文带你了解质数的概念

本文内容：

数学中质数是什么意思？

仅有1和其本身为因数的数叫做质数。质数也可以称为素数。1至100之间的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。自然数中，除了1和0既不是质数也不是合数外，质数是无穷个，因此，其他数都可以分为质数和合数。

什么是质数？

质数是大于 1 的自然数，除了 1 和其本身之外没有其他因数。

素数的概念经常让初学者感到困惑，因为他们经常将素数与其他自然数混淆。让我们一起来学习素数吧。

详细信息01

质数又叫素数。大于1的自然数，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的，就叫质数；否则就叫合数（1既不是质数也不是合数）。

02

素数的数量是无穷的，在欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明，它用的是常见的证明方法：反证法。具体证明如下：设素数只有有限个n，从小到大依次排列为p1，p2，…，pn，设N=p1×p2×…×pn，则n是素数还是非素数。

03

质数用于密码学，所谓公钥，就是在对想要传输的信息进行编码时加上质数，编码后再发送给接收者。任何人在收到这些信息后，如果没有接收者拥有的密钥，解密过程（其实就是寻找质数的过程）就会花费过长的时间寻找质数（分解质因数），使得即使获得了信息也毫无意义。

04

在汽车变速箱齿轮设计中，将两个相邻的大小齿轮上的齿数设计为质数，以增加两个齿轮中两个相同齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用性，减少故障。

05

害虫的生物生长周期与农药使用的关系也已被证实，实验证明，农药的素数是最合理的：都是在害虫繁殖高峰期使用，害虫不易产生抗药性。

质数是什么意思？

素数（也叫质数）

1.所有大于1的整数中，除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的整数叫做质数。也可以说，质数只有1和它本身两个因数。 2.质数是指除了它本身和1以外，不能表示为其他任何两个整数的乘积的整数。例如15 = 3 * 5，所以15不是质数；

例如，12 = 6 * 2 = 4 * 3，所以 12 不是质数。另一方面，13 不能表示为除 13 * 1 之外的任何其他两个整数的乘积，所以 13 是质数。

[编辑本段]素数的概念

如果一个数只有1和它本身两个因数，就叫作质数。例如2、3、5、7是质数，而4、6、8、9不是质数，后者叫作合数。从这个角度看，整数可以分为两种，一种叫质数，一种叫合数。（1既不是质数也不是合数）高斯著名的“唯一分解定理”说，任何一个整数都可以写成一系列质数的乘积。质数中，除了2是偶数外，其他都是奇数。

[编辑本段]素数之谜

素数的分布是不规则的，常常令人费解。例如，101、401、601、701 都是素数，但上下的 301（7*43）和 901（17*53）却是合数。

有人做过这样的计算：1^2+1+41=43质数是什么意思，2^2+2+41=47，3^2+3+41=53……所以我们可以有这样的公式：设 n 为正数，则 n^2+n+41 的值必定是素数。这个公式在 n=39 之前都成立。但是当 n=40 时，公式就不成立了，因为 40^2+40+41=1681=41*41。

当谈论素数时，我们不能忘记哥德巴赫猜想和著名的“1+1”。

哥德巴赫猜想：（）

内容为“所有不小于6的偶数都可以表示为两个素数”

这一问题是由德国数学家哥德巴赫（C.，1690-1764）在1742年6月7日写给大数学家欧拉的信中提出的，因此被称为哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉回信说，这一猜想可能是正确的，但他无法证明。从此，这一数学难题受到了几乎所有数学家的关注。哥德巴赫猜想也因此成为数学皇冠上一颗高不可攀的“明珠”。 “用当代的语言来描述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫奇数猜想，第二部分叫偶数猜想。奇数猜想指出，任何大于等于7的奇数都是三个素数之和。偶数猜想则说，大于等于4的偶数一定是两个素数之和。”（摘自《哥德巴赫猜想与潘承栋》）

哥德巴赫猜想看似简单，但证明起来却并不容易，成为数学上一个著名的难题。18、19世纪全体数论专家在证明这个猜想上都没有取得实质性进展，直到20世纪才取得突破。哥德巴赫猜想无法直接证明，于是人们采取了一种“规避战术”，就是先考虑把偶数表示成两个数的和，每个数都是若干个素数的乘积。如果把“每一个大偶数都可以表示成一个有不超过a个素因数的数与另一个有不超过b个素因数的数的和”这个命题记为“a+b”，那么哥德巴赫猜想就是要证明“1+1”为真。

1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”攻克“哥德巴赫猜想”堡垒，并最终取得了辉煌的成果。

20世纪20年代，有人开始向它靠拢。1920年，挪威数学家卜珏用一种古老的筛分法证明，得出一个结论：每一个大于6的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小圈子的方法非常有效。科学家从（9+9）出发，逐渐减少每个数的素因数个数，直到每个数都是素数，从而证明了“哥德巴赫猜想”。

1920年，挪威的布伦证明了“9+9”。

1924年，德国的拉特马赫（）证明了“7+7”。

1932年，英国科学家埃斯特曼（）证明了“6+6”。

1937年意大利的赖塞相继证明了“5+7”、“4+9”、“3+15”和“2+366”。

1938年，苏联布哈拉证明了“5+5”。

1940年，苏联的布赫什泰卜证明了“4+4”。

1948年，匈牙利的雷尼证明了“1+c”，其中c是一个非常大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3+4”。

1957年，中国的王元相继证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国的潘承东与苏联的巴尔班证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。

1965年，苏联的布胡希泰布(1914)、小维诺格拉多夫(1915)以及意大利的庞比利(1916)证明了“1+3”。

1966年，我国的陈景润证明了“1+2”【通俗地说就是大偶数=素数+素数*素数或者大偶数=素数+素数（注意：组成大偶数的素数不能是偶素数，只能是奇素数。因为素数中偶素数只有一个，那就是2。）】。

“s+t”问题是指s个素数的乘积与t个素数的乘积相加。

20世纪数学家研究哥德巴赫猜想的主要方法是筛法、圆法、密度法、三角法等高等数学方法。解决这个猜想的思路就像“收拢包围圈”，逐渐逼近最终结果。

得益于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最终结果“1+1”仅一步之遥。但要实现这最后一步，或许还需要一个漫长的探索过程。不少数学家认为，要证明“1+1”，必须开创一种新的数学方法，以前的路子未必行得通。

素数的性质

被誉为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过素数的性质。他发现，若Fn=2^(2^n)+1，则当n等于0、1、2、3、4时，Fn分别为3、5、17、257、65537，这些数都是素数。由于F5过大（F5=），他没有进一步验证，直接猜测对于所有自然数，Fn都是素数。然而，F5有问题！费马逝世67年后，25岁的瑞士数学家欧拉证明了F5==641*不是素数，而是合数。

更有趣的是，数学家们从来没有发现过任何一个 Fn 值是素数，它们全部都是合数。目前由于平方数很大，能证明的非常少。现在数学家们已经得到了 Fn 的最大值：n = 1495。这是一个超级天文数字，位数多达 10^10584。当然，虽然很大，但它并不是素数。素数和费马开了一个大玩笑！

还有一种数叫“几乎素数”，意思是非常接近素数的数。著名数学家陈景润就用过这个概念，他的“1+2”中的“2”就是“几乎素数”的意思，其实就是合数。大家不要混淆了。严格来说，“几乎素数”不是一个科学概念，因为科学概念的特点是（1）精确性；（2）稳定性；（3）可验证性；（4）系统性；（5）特异性。比如很多数学家用“足够大”，也是一个模糊的概念，因为陈景润把它定义为“10的50万次方”，也就是在10后面加50万个“0”。这是一个无法验证的数。

[编辑本段]素数假设

17世纪有位法国数学家叫梅森，他曾提出一个猜想：2^p-1代数表达式，当p为素数时，2^p-1也是素数。他验证了当p=2、3、5、7、11、13、17、19时，该代数表达式的值都是素数。后来欧拉又证明了当p=31时，2^p-1是素数。当p＝2、3、5、7时，Mp是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。

剩下的梅森数还有三个：p=67、127、257。由于它们太大，很长时间没人验证过。梅森逝世250年后，美国数学家科勒证明了2^67-1=*是合数，这是第九个梅森数。20世纪人们又陆续证明了第十个梅森数是素数，第十一个梅森数是合数。素数排列如此杂乱，也使得人们很难发现素数的规律。

[编辑本段]素数表上的素数

现在，数学家发现的最大的梅森数是 1 位数字：2^-1。尽管数学可以找到非常大的素数，但素数的规律仍然很难遵循。

[编辑本段] [寻找大素数的方法]

研究发现，除了 2 之外的质数都是奇数，而除了 [奇数 * 奇数]（或加上 “*奇数”）之外的奇数都是质数。所以用计算机先算出 [奇数 * 奇数]（或加上 “*奇数”）（如 9、15、21、25、27、33、35、39……），然后在奇数中找出上面没有提到的数。这些数就是质数。

如果人们找到的几个超大素数中有遗漏的话，那么可以用这种方法来找出那些缺失的数字，但是会花费很长时间！

这对于“孪生素数”很有帮助！

上述算法对于寻找非常大的素数来说相当麻烦和低效，可以使用概率算法来寻找。

求素数请用《公理与素数计算》。此方法不需要把奇数全部写出来，算出来的素数可以做到不漏掉一个。对于合数的删除，不涉及所有奇合数。删除是精确的，删除​​奇合数后剩下的数全部是素数。例如：删除奇素数3的倍数的数，整个自然数中只需删除一个数；删除素数5的倍数的数，整个自然数中只需删除两个数；删除素数7的倍数的数，整个自然数中只需删除八个数；等等。如果老师能用计算机编程，对计算素数会有很大帮助。

上述算法对于寻找非常大的素数来说相当麻烦和低效，可以使用概率算法来寻找。

求素数请使用《公理与素数计算》。此方法不需要把奇数全部写出来，计算出来的素数可以保证完整。删除合数时，不涉及所有奇合数。删除准确，删除奇合数后剩下的数全部是素数。例如，删除奇素数3的倍数，只需从整个自然数中删除一个数；删除素数5的倍数，只需从整个自然数中删除两个数；删除素数7的倍数，只需从整个自然数中删除八个数；等等。如果老师能在计算机上编程，对计算素数会有很大帮助。”

[编辑本段][素数的数量]

有一个近似公式：x 内的素数个数约等于 x / ln(x)

ln 表示自然对数。

素数的确切公式尚未给出。

10 以内有 4 个质数。

100 之内有 25 个质数。

1000 以内有 168 个质数。

10000 以内有 1229 个质数。

这个范围内有9592个质数。

这个范围内有78498个质数。

在内共有个质数。

在内共有个质数。

......

总计无限制。

什么是质数？

1. 什么是质数？

1. 素数又称为质数，有无数个。素数定义为大于1的自然数，除1和其本身外，没有其他因数。

2、质数又叫素数。大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其他自然数整除的，叫做质数；否则叫做合数。

3. 质数是指除了 1 和它本身之外，没有其他整数能被它整除的数。例如：2..3.5.7.11.13.17.19.23.39.31…………………………

4. 历史上，1 也包括在素数中，但后来数学家为了算术基本定理，最终把 1 排除在素数之外。从高等代数的角度来看，1 是乘法单位，不能算作素数。而且，所有合数都可以由几个素数相乘得到。

2. 数字计算

1. 虽然整个素数是无限的，但有些人仍然会问：“100,000 以下有多少个素数？”和“一个随机的 100 位数字是素数的可能性有多大？”素数定理可以回答这些问题。

2.大于1的数与其两倍之间（即区间（a，2a]内）必定至少有一个素数。

3. 存在任意长度的素数的等差数列。

4.一个偶数可以写成两个合数之和，每个合数最多有9个素因数。（挪威数学家布朗，1920年）

5. 偶数可以写成一个素数加一个合数，其中合数的因数个数有一个上限。（，1948）

6. 一个偶数可以写成一个素数加上一个最多有5个因数的合数。后来有人就把这个结果简称为（1 5）（潘承东，中国，1968）

7. 一个足够大的偶数可以写成一个素数加上一个最多有2个素因数的合数，简写为（1 2）

3. 自然

素数有许多独特的性质：

1. 素数p只有两个因数：1和p。

2.初等数学基本定理：任何大于1的自然数，要么是质数本身，要么可以分解为几个质数的乘积，并且这种分解是唯一的。

3.素数的数量是无限的。

4.素数数量的公式是一个非减函数。

5. 如果 n 为正整数，则 到 之间至少有一个素数。

6. 如果 n 是大于或等于 2 的正整数，则 n 和 之间至少有一个素数。

7.若素数p是不超过n()的最大素数，则。

8.所有大于10的质数中，个位数字只有1、3、7、9。

什么是质数？

;01

质数又称为素数。大于1的自然数，除1和它本身外不能被其他任何自然数整除，称为质数。最小的质数是2，也是唯一的偶质数。前几个质数依次为：2、3、5、7、11等。大于1但不是质数的数称为合数。

质数是除了 1 和本身之外不能被其他自然数整除的数（也可以定义为只有两个正因数，1 和本身）的数。例如，7 是质数，因为它只能被 1 和 7 整除，不能被其他任何数整除。最小的质数是 2，它也是唯一的偶质数。第一批质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31 等。

如果大于 1 的自然数不是素数，则称为合数（也称合成数）。算术基本定理确立了素数在数论中的核心地位：任何大于 1 的整数都可以表示为一系列唯一素数的乘积。为了确保该定理的唯一性，1 被定义为非素数，因为在因式分解中可以有任意数量的 1（例如，3、1×3、1×1×3 等都是 3 的有效因数）。

素数现在多用于密码学，所谓公钥，就是在对想要传输的信息进行编码时加上素数，编码后再发送给接收者。任何人收到这些信息之后，如果他没有接收者拥有的密钥，那么在解密过程中（其实就是寻找素数的过程，分解素因数的过程）就会耗费过长的时间，使得即使获得了这些信息也毫无意义。

什么是质数？

素数的定义：

除了 1 和它本身以外不能被其他任何数整除的正整数是质数。100 以内的质数有：

2, 3, 5, 7, 11,

13, 17, 19, 23,

29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59,

61, 67, 71, 73,

79, 83, 89, 97

总共有25个。

质数与合数相对。合数是指除了 1 和其本身之外，还能被一个或多个质数整除的数。

例如：

77/1=77

77/7=11

210÷2=105

210÷3=70

210÷5=42

210÷6=35

结尾