整数集 预备知识存在性和任意性，二元关系的概念

贡献者：； 亚的斯亚贝巴；

初步知识的存在性和任意性、二元关系

整数的概念是每个人都熟悉的。 严格数学中整数的定义过于抽象，主要是为了逻辑基础的严谨性； 严格的定义仍然是基于我们熟悉的整数概念，所以物理学习中没有必要深入研究整数的定义。 读者只需要按照通常的理解方式来理解整数即可。 我们将整数集合称为整数集合（Set of ），记为$\{Z}$。

通常与整数相关的运算是加法和乘法。 加法的逆运算称为减法，减法是封闭在整数集合上的，即两个整数相减仍然是一个整数； 乘法的逆运算称为除法，除法在整数集合上并不封闭，例如$2/ 3\not\in\{Z}$，尽管$2$和$3$都属于$\{Z}$ 。

中小学我们学过余数除法，用现代数学语言可以记录为如下形式：当被除数为$a$，除数为$b$，余数为$c$时，有整数 $k$，使得 $a=kb+c$。 作为练习，用逻辑量词表达时，这句话可以写成：当被除数为$a$，除数为$b$，余数为$c$时，$\k\in\{Z}$ ，st$a=kb+c$。 在群论（群）、环论（环）和场论（场）中，我们会遇到大量基于模运算概念的运算。 在本条目中，我们将使用时钟模型来说明如何执行模运算。

将除数固定为$b$，那么如果两个整数$a_1$和$a_2$除以$b$得到的余数相同，我们说$a_1$和$a_2$模$b$全等($ a_1 \equiv a_2 \{mod} b$)。 这里的模意味着“除以”，而同余则意味着“余数相同”。 在这种情况下，我们也将 $a_1$ 和 $a_2$ 称为彼此 mod $b$ 的同余。 为了简化表达式，当$b$的值默认时，我们也可以省略$\{mod}b$，只需调用$a_1$和$a_2$同余()，记为$a_1\equiv a_2$。

从条目二元关系中对等价关系的讨论可以推断，给定一个整数$b$，模$b$的同余关系是整数集上的等价关系。 换句话说，我们可以用$b$将整数集合划分为几个等价类，称为整数集合模$b$的同余类（类）。 从方程 $a=kb+c$ 我们知道 $a$ 属于对 $b$ 余数 $c$ 求模的同余类。 二进制关系条目中讨论的“两个数之差是 3 的倍数”的关系实际上是模 3 的同余关系。

1. 时钟和模运算

时钟模型可以帮助你直观地理解模运算，初步感受“集合之间的运算”是什么样的。

熟悉的加法、减法和乘法运算是在无限集（即整数集）上讨论的。 如果用“模同余”的概念代替“等于”的概念，我们就可以对有限集进行加法、减法和乘法运算。 最常见的例子是计算时钟上的小时，这是模 12 的同余运算。

模算术的概念是，给定 $b$ 用作除数整数集，所有模 $b$ 同余的整数被认为是相同的。 以时钟为例，$b=12$，那么我们将$0,12,24,72$等视为同一个元素，将$3,15,27,147$等视为同一个元素。 判断整数$a_1$和$a_2$模12是否全等的方法很简单，就是看$a_1-a_2$是否是12的倍数。这样我们就可以将整数轴卷起，这样所有全等的整数都彼此重合。 此时12点为0点，14点为2点，28点为4点。 为了讨论方便，我们只取$0,1,2,\cdots,11$分别作为12个同余类的代表，然后进行运算。

我们要讨论的是，如果我们从两个同余类中随机选取一个数，对它们进行加、减、乘运算，结果会属于哪一个同余类。 在这样的运算规则下，如果我们使用上一段中指定的代表性元素来讨论，我们可以得到以下运算示例：

\begin{}\begin{}&1+1\equiv 2~、\quad 4+8\equiv 0~、\quad 11+8\equiv 7~、\\&3-2\equiv 1~、\quad 5- 7\当量 10~, \\&2\乘以 3\当量 6~, \quad 3\乘以 4\当量 0~, \quad 4\乘以 7\当量 4~.\end{}\end{}

模运算有一个奇妙的特性。 如果$a_1$和$a_2$全等，那么我们可以将它们的关系表示为$a_1=a_2+12k$，其中$k$是唯一存在的整数。 使用这个关系很容易证明，对于任何整数$a_3$，我们有$a_1+a_3\equiv a_2+a_3$、$a_1-a_3\equiv a_2-a_3$和$a_1\times a_3\equiv a_2\times a_3 $。 这三个公式实际上表明，在进行同余类的加减乘运算时，无论选择谁作为代表元素，结果都将属于同一个同余类。 因此，我们可以放心地将同余类的操作视为任意代表元素之间的操作，例如时钟时间的计算。

在普通的时钟中，我们将整数轴卷成周长为12的时钟。我们也可以根据其他周长来卷曲整数轴。 当整数轴卷曲成圆周为 $b$ 的时钟时，对时钟执行的加法、减法和乘法运算就是数学家所说的模 $b$ 的加法、减法和乘法运算。

一般来说，我们将上面定义的结构体表示为$\{Z}_n$，其中包含$n$个时钟，并定义了加法和乘法。 这是“环”的一个示例，请参阅环以及随后的内容。

2.素数

根据小学时学过的定义，素数是指除了1和自身之外没有其他因数的整数。

在代数中，整数集是交换环的特例，素数是更一般的环素数的特例。 根据交换环中素数元素的定义，整数中的素数$p$是满足以下要求的整数： 如果$p$能整除$ab$，其中$a$和$b$是任意的满足条件的整数组合，则 $p$ 必须整除 $a$ 和 $b$ 之一。 用逻辑量词简洁地表达就是：$\ a, b\in \{Z}$，如果$p|ab$，则要么是$p|a$，要么是$p|b$。

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